对数及其运算性质

对数与对数运算(一)一、对数的定义：一般地，如果ax=N（a＞0，a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意:(1)对数的底数a的限制:a＞0且a≠1(2)对数的真数限制:N0负数和零没有对数。在2x=8中X就是以2为底8的对数，记成x=log28由于2³=8所以x=3即log28=3在3x=5中x就是以3为底5的对数，记成x=log35log35的值通常要查表才能得到。当a0，a≠1时NxNaaxlog底数指数幂底数真数对数由上述关系，可实现对数式与指数式的相互转化。例1、将下列指数式与对数式互化：6412)2(6-73.531)3(m4(1)5625416log)4(21201.0lg)5(303.210ln)6(（1）常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记成lgN（2）自然对数：通常我们将以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记成lnN二、两种特殊的对数loga1=0logaa=1三、对数的基本性质alogaN=Nlogaab=b例2、求下列各式中x的值或化简求值：24log3(5)232log23(6)2764x22(1)log(2)log863(3)lg100(4)-lnexxx练习：P64：1、2、3、4四、小结：1、对数的定义：NxNaaxlog2、对数的基本性质：loga1=0logaa=1logaab=balogaN=N作业：P742.2A:1、(1)、（3）（5）、2（1）（3）（5）1、求下列各式中x的取值范围：(1)log(x-1)(x+2)(2)log(1-2x)(3+2x-x2)对数与对数运算(二)复习提问：1、对数的定义：ax=N(a＞0且a≠1)↔x=logaN2、对数的基本性质：loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b3、计算:log264=,log24=,log216=。4、观察3中各对数值之间的关系，你有何猜想？624关系式：6=2+4即log264=log24+log2162=6-4即log24=log264-log2164=6-2即log216=log264-log246=3×2即log264=3log244=2×2即log216=2log24loga(MN)=logaM+logaN的证明：证明1：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，MN=am+n,所以loga(MN)=m+n即loga(MN)=logaM+logaN证明2：设loga(MN)=p,logaM=q，则MN=ap，M=aq，所以N=ap-q,则logaN=p-q即logaN=loga(MN)-logaM,即loga(MN)=logaM+logaN指数与对数对比表式子aX=NlogaN=X名称a---幂的底数x---幂的指数N---幂值a---对数的底X---以a为底的N的对数N---真数运算性质am×an=am+nam÷an=am-n(am)n=amnloga(MN)=logaM+logaNloga(MN-1)=logaM-logaNlogaMP=plogaM例1、用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)logaxyz23(2)logaxyz例2、求下列各式的值：752(1)log(42)5(2)lg100(3)(lg27lg8lg1000)lg1.25(4)lg2lglg0.2lg402例4.求使下式成立的x的范围:2(21)xx(x+1)log(1)(1)log(21)log(1)xxxx1.:小结(1):对数的运算性质(2):运算性质的灵活应用对数与对数运算(三)复习提问:1.对数式与指数式的互化:log(0,1,0)aNxNaaNxa2.对数的基本性质:alogNbaaalog1=0loga=1loga=ba=N3.对数的运算性质:aaalog(MN)=logM+logN-1aaalog(MN)=logM-logNnaloga(M)=nlogM(nR)换底公式及推论:1.换底公式:loglogccbaalogb=2.推论:ab(1)logbloga=11logabmma(2)logb=(3)loglogmnaanbbm例1.利用对数的换底公式化简:2345(1)log3log4log5log227log328(2)log94839(3)(log3log3)(log2log2)123例2.已知log2=a,用a的代数式表示log3.abc例3.设a,b,c均为正数且3=4=6,求a,b,c之间满足的关系式.:练习1.lg2,lg3,:ab已知求下列各式的值(1)lg63(2)lg22(3)log123(4)log42.,:xx已知的对数求(1)lglglgxab(2)logloglogaaaxmn(3)lg3lglgxnm1(4)logloglog2aaaxbc.:三小结1.:换底公式及推论2.:公式及推论的灵活应用.:四作业1.:化简求值1(1)4lg23lg5lg55log333332(2)2log2loglog8591324(3)lglg8lg2452493212.3436,.abab已知求的值113.(1),3baab已知logb+2loga=362.baabb求的值