对数的定义

伟大的对数•1、恩格斯把对数的发明、解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。•2、伽利略说：“给我空间、时间以及对数，我就可以创造一个宇宙。”对数的发明•16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。•苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。y=2x思考一：23=？思考二：2x=1024x=?思考三：2x=6×1012x=?•例8截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口平均增长率控制在1%.经过x年后，人口数为y.y=13×(1+1%)x=13×1.01x•思考一：经过20年后，我国人口数为多少？y=13×1.0120=16•思考二：经过多少年，我国人口数可以达到18亿？13×1.01x=18x=?•2x=6×1012x=?•1.01x=x=?1318一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数。a叫做对数的底数，N叫做真数。1.定义：说明：(1)我们把叫作指数式，叫作对数式，由定义知两者是等价的，即：(0,1)aa)1,0(aaNax且记作对的理解：是一种新的运算符号，和一样，代表一种数学运算。sin“”，“”log“”log“”NaxNxalogNxalogNxNaaxlog底数幂真数指数对数2.指数和对数的相互转化xNNaaxlog3、两种常用对数常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，N的常用对数N10log简记作lgN.例如：5log10简记作lg5；5.3log10简记作lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数.为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN.例如：3loge简记作ln3;10loge简记作ln10.有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵,01loga1logaa⑶对数恒等式NaNalogNaNalog（4）底数a的取值范围：),1()1,0(真数N的取值范围:),0(例1：将下列指数式写成对数式：以5为底625的对数是4，记作26-625544625log5以2为底的对数是-6，记作16421log664-①③②64173.531mm73.5log31以为底5.73的对数是x，记作31NxNaaxlog练习：P641（1）（3）（2）例2将下列对数式写成指数式：01.0102--201.0lg10303.2e303.210ln16214--416log21NxNaaxlog练习：P642例3求下列各式的值（1）（4）（3）（2）25log52161log24-1000lg3001.0lg3-NxNaaxlog练习：P644（1）（3）（5）例4求下列各式中x的值（1）32log64-x（2）68logx3234-（3）x100lg（4）xe-2ln3264-x86x2861x21010010x2xxe-2lnxee-22-x161知识小结对数常用两种对数对数的概念真数N0对数的性质对数与指数间的关系常用对数lgN自然对数lnN底数1,0aa,01loga1logaalogbaNbaNlog,aNaNlogbaab