频率域图像处理

频率域图像处理汤晓方北京多维视通技术有限公司2012.3.26大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?导引•频率域处理很重要!?•尽管前面已经着重讲述了图像增强的空间技术，但如果不了解图像处理中如何应用傅里叶变换(FourierTransform)和频域的基本知识，要彻底地理解图像增强是不太可能的。•频率域处理有时比空间域方便得多•频率域处理可以解决很多空间域无法解决的问题:模式噪声问题\同态滤波•有很强的理论基础•快速\方便•是很多高级或复杂算法的基础什么是频率域处理•频域增强指在图像的频率域内，对图像的变换系数（频率成分）直接进行运算，然后通过Fourier逆变换以获得图像的增强效果。•一般来说，图像的边缘和噪声对应Fourier变换中的高频部分，所以低通滤波能够平滑图像、去除噪声。•图像灰度发生剧变的部分与频谱的高频分量对应，所以采用高频滤波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行锐化处理。•注意本章各种增强技术与空域技术之间的对应和并行性。什么是频率域处理•含义：–狭义：频域增强指在图像的频率域内，对图像的变换系数（频率成分）直接进行运算，然后通过Fourier逆变换以获得图像的增强效果。–广义：利用变换域进行处理均可称为频率域处理。为何要在频率域处理•与空间域处理的互补性，可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通；•滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质；大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?傅里叶变换-频率•频率的定义•频率frequency•频率，是单位时间内完成振动的次数，是描述振动物体往复运动频繁程度的量，常用符号f或v表示，单位为秒-1。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹，简称“赫”。•图像：边缘—高频；平滑区域—低频。傅里叶•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅里叶的两个观点•“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”–对应到图像直观理解：图像均可表示为正弦条纹图像的叠加；其中粗大的条纹代表图像中的整体结构，而稠密的细条纹代表图像的细节部分。傅里叶的思想下面的函数是由上面四个函数相加得来的。傅立叶在1807年提出的周期函数可以表示成一系列正弦函数和余弦函数的加权和的思想在当时受到了大家的质疑。傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）：1950年提出出现适用于电脑运行的快速傅里叶变换算法（FFT）二维离散傅里叶变换对1100(,)(.)1(,)(,)exp2()0,1,2,,10,1,2,,1(,)(,)exp2(MNxyfxyFuvuxvyFuvfxyjMNMNuMvNuxfxyFuvjM正变换反变换1100)0,1,2,,10,1,2,,1MNuvvyNxMyN傅里叶变换示例(a)一个简单函数(b)其傅立叶变换(c)傅立叶变换的频谱。傅里叶变换示例-二维一个二维函数，和它的幅度谱的一部分。一个二维函数，和它的幅度谱的一部分。认识频谱图(a)图像(b)频谱图，注意四个角处亮点(c)中心化后的频谱图。(d)通过对数变换后得到的频谱图，该图显示了更多的细节。频谱图中垂直方向的过零点比水平方向更近点，这是由于矩形在垂直方向的长度比在水平方向上长。在本书中的坐标原点的约定是原点在图像的左上角。认识频谱图矩形平移后的图像和对应的频谱图像。矩形旋转后的图像和对应的频谱图像。注意：矩形平移后图像的频谱图和原图像的频谱图是一样的。与位置无关，这也是频谱图的一个重要特性。幅度谱与相位a一个女人图像。b对应的相角图像。c仅使用相位重建后得到的图像。d仅使用频谱重建得到的图像。e使用相位和频谱重建后得到的图像。f使用矩形图像的相位和原图像的频谱得到的图像。图像频率-再认识基本属性：•所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和相应的频率变量(u,v)的值所组成的空间。在空间域图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该空间得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平均灰度级，即图像中的直流成分；低频反映图像灰度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像中灰度发生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不能反应图像的空间信息。图像频率-再认识那些是高频，那些是低频？频率分量与图像空间特征的联系•变化最慢的频率成分（U=V=0），对应一幅图像的平均灰度级•当从变换的原点（频谱图的中心点）移开时，低频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分。•当进一步远离原点时，较高的频率对应图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分。大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?频率产生的问题图像采样中混叠效应的演示。(a)图像中的混叠几乎可以忽略(b)通过像素删除的方法把图像缩小到原来的一半，混叠效果比较明显。(c)先对图像做均值滤波，然后再缩放，得到的图像比(b)图要模糊一些，但是混叠效应就不那么令人讨厌了。频率产生的问题波纹效应例子。上面是油墨画不是数字化的模式，把一个模式加在另一个模式上面等同于把这两个模式相乘。频率产生的问题一幅大小为新闻稿图像显示了波纹效应，采样为75dpi。图像中的波纹效应是由45度方向的网格点叠加并由数字化图像时使用的南北方向的采样网格产生的。频率产生的问题一幅新闻稿图像和它的局部放大图像，显示了网格点如何排列来绘制灰色阴影。大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?频域处理的基础频域处理的步骤频域处理的步骤•为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入图像乘(－1)x+y1.计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v)2.把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘3.对第3步的结果计算逆DFT4.取第4步结果的实部5.用(－1)x+y第5步的结果以还原滤波后图像的中心点到左上角。频域处理与空域处理的联系•卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：•基本计算过程：1.取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n)2.对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)3.对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和4.位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。11001(,)(,)(,)(,)MNmnfxyhxyfmnhxmynMN(,)(,)(,)(,);(,)(,)(,)(,)fxyhxyFuvHuvfxyhxyFuvHuv大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?频域与空域处理的比较•1.对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y),H(u,v)，频域计算(由于FFT)往往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板就能解决的问题，则往往在空域中直接操作。•2.频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计算为好。因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤。•3.由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导。频域与空域处理的比较例：高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的情况说明）2222/22();()2uxHuAehxAe222212222212/2/2122212();()22uuxxHuAebeABandhxAeBe低通：高通：频域与空域处理的对应关系频域处理的类型与低通•按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等。•按方法常用的有：高斯、Butterworth等，此外还有梯形、指数等。大纲•导引-为何要在频率域处理•傅里叶变换及频谱图解释•频率产生的问题•频域处理的方法•频域与空间域处理的联系•各种频域滤波器•同态滤波•警视通工具•挑战与问题?理想低通滤波器001,if(,)(,)0,if(,)DuvDHuvDuvD1.理想低通滤波器(ILPF)其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩形平面上的点到频率原点(M/2,N/2)的欧氏距离：设置中心区域为0，保留其他部分不变特点：被低通滤波的图像相对原始图像缺少尖锐的细节部分而突出平滑过渡的部分对应于空间域的平滑处理：如邻域均值处理理想低通滤波器•理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以帮助我们理解滤波器的行为和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采用求百分功率的办法：=100[(,)/]TuvPuvP理想低通滤波器-示例理想低通滤波器-示例振铃现象振环中心分量的半径及其他同心分量的数目与ILPF的截止频率成反比。滤波器截止频率越小，即越狭窄，则振铃现象越严重。Butterworth低通滤波器(BLPF)通常在H(u,v)=0.5时的D(u,v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。Butterworth低通滤波器(BLPF)Butterworth低通滤波器(BLPF)Butterworth低通滤波器(BLPF)Gaussian低通滤波器(GLPF)22(,)/2(,)DuvHuve如令＝D0,将可以表示成如下更熟悉的形式：220(,)/2(,)DuvDHuve这里，在截止频率处，H(u,v)下降到最大值的0.607倍。GLPF没有振铃现象，但与阶数为2的BLPF相比，其通带要宽些，这样对应的空间滤波器的灰度级轮廓更窄些，因而平滑效果要差些。以上三种滤波器，振铃现象从严重到无，但平滑效果从好到差，BPLF可以看成ILPF和BLPF的过渡，阶为1时与GPLF差不多，阶越高越接近BPLG.Gaussian低通滤波器(GLPF)Gaussian低通滤波器(GLPF)低通滤波器总结低通滤波总结示例-低通处理人像高频（锐化）滤波器的类型000,if(,)(,)1,if(,)DuvDHuvDuvD(,)1(,)hplpHuvHuv201(,)1[/(,)]HuvDDuvIHPF:BHPF:GHPF:被高通滤波的图像相对原始图像缺少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子、边缘算子等高频（锐化）滤波器的类型三种滤波器的三维、图像及横截面表示：三种高频滤波器比较三种滤波器的空间域图像及轴向剖面表示理想高通滤波器的问题巴特沃斯高通高斯高通拉普拉斯滤波器2222222222(,)(,)[(,)][](2)(,)(2)(,)4()(,)fxyfxyfxyxyjuFuvjvFuvuvFuv用Laplacian算子作用在频域图像上（求二阶偏导数）：频域Laplacian滤波器：222(,)4()Huvuv中心化：22(,)[(/2)(/2)]HuvuMvN对第三个公式做反傅立叶变换，将得到Laplacian滤波器的空间域表现形式