高中数学题库-圆锥曲线

OBCF1F2Dxy1.定义法研究圆锥曲线问题（一）椭圆问题1.已知椭圆方程为)0(12222babyax，21,FF是其左右焦点，P是椭圆上异于21,FF的任意一点，若已知21BFF，21BFF的面积为__________2tan2Sb双曲线中类似结论：2cot2Sb2.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆22221yxab(0ab)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若127cos25FBF，则直线CD的斜率为椭圆的第三定义3.圆锥曲线中一类面积问题的探究1.（2013年苏锡常镇四市高三二模）如图设A,B分别为椭圆2222:1(0)xyEabab的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），ABC和ABD的面积分别为1S与2S．（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为13yx，求椭圆的离心率；（2）当点M在线段AB上运动时，求12SS的最大值．解：（1）232e；（2）设),(),,(0000yxDyxC,（0,000yx）abaybxababaybxabaybxabaybxabaybxSS00000000002121令00aybxt1：三角换元：4sin2t2,0()，当且仅当2t时（此时4时等号成立），21SS可取得最大值2232：基本不等式的应用：222202021)()(tbaaybx,同理可得结果命题深度背景探源：椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行；且在该交点处，此时21,SS,21SS都是最大的。练习1：练习2：OMDACxBy（2011年湖南高考理科试题）如图，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于C1的长半轴长（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是12,SS．问：是否存在直线l,使得121732SS？请说明理由（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,23baabbaace解得又从而故C1，C2的方程分别为.1,14222xyyx（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为kxy.由12xykxy得012kxx.设212211,),,(),,(xxyxByxA则是上述方程的两个实根，于是.1,2121xxkxx又点M的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA.11122kk故MA⊥MB，即MD⊥ME.（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为1,1,1211xyxkyxky由解得1,1021kykxyx或，则点A的坐标为)1,(211kk.又直线MB的斜率为11k，同理可得点B的坐标为).11,1(211kk于是221111111111111||||1||1||222||kSMAMBkkkkk由044,1221yxxky得.08)41(1221xkxk解得12121218,140,14114kxkxykyk或，则点D的坐标为2112211841(,).1414kkkk又直线ME的斜率为k1，同理可得点E的坐标为).44,48(2121211kkkk于是)4)(1(||)1(32||||2121211212kkkkMEMDS.因此21122114(417).64SkSk由题意知，2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或又由点A、B的坐标可知，21211111113,.12kkkkkkkk所以故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为.2323xyxy和练习3：如图，已知椭圆22143xy的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,DE两点．（Ⅰ）若点G的横坐标为14，求直线AB的斜率；（Ⅱ）记△GFD的面积为1S，△OED（O为原点）的面积为2S．试问：是否存在直线AB，使得12SS？说明理由．（1）21k（2）不存在，计算可得892k练习4：（2013年徐州、宿迁高三三模数学）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：22221(0)xyabab的离心率32e，12,AA分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆2A的半径为a，过点1A作圆2A的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求1PQQA的值；（1）连结2AP，则21APAP，且2APa，又122AAa，所以1260AAP.所以260POA，所以直线OP的方程为3yx.⑵由⑴知，直线2AP的方程为3()yxa，1AP的方程为3()3yxa，解得2Pax.因为32e，即32ca，所以2234ca，2214ba，故椭圆E的方程为222241xyaa+.由22223(),341,yxaxyaa+解得7Qax，所以1()3274()7aaPQaQAa．⑶不妨设OM的方程为(0)ykxk，联立方程组2222,41,ykxxyaa+解得22(,)1414aakBkk，所以22114kOBak；用1k代替上面的k，得2214kOCak．同理可得，221aOMk，221akONk．所以4122214(14)(4)kSSOBOCOMONakk．因为22221115(14)(4)4()17kkkkk≤，当且仅当1k时等号成立，所以12SS的最大值为45a已知点P为椭圆2212516xy上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为．15类型化11PFePM的最值在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221xyab(0)ab过点A(1,1)，离心率为63．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B是点A关于原点O的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，PyxNMBAOBP分别与直线3x交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB和PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得22222111,,6,3ababccea…………………2分解得2244,3ab．…………………4分∴椭圆C的方程为223144xy．…………………5分（Ⅱ）如图，B点坐标为(1,1)，假设存在这样的点P00(,)xy，则直线AP的方程为0011(1)1yyxx，（北京卷高考题）10.如图，已知椭圆22221(0)xyabab的右顶点为A（2，0），点P（2e，12）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足OCBA，且0OCOB，求实数λ的值．CBAyxO11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:22221(0)xyabab的右准线为直线l，动直线ykxm(00)km，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为1e（其中e为椭圆的离心率），且5OQOM．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则(,0)Aa，(0,)Bb，(,)22abM．ABMOPQlxy（第18题）∵21(,)aQce，∴由O，M，Q三点共线，得21beaac，化简，得1b．………2分∵5OQOM，∴252aca，化简，得25ac．由222125abcbac，，，解得225,4.ac…………………………………………4分（1）椭圆E的标准方程为2215xy．…………………………………………6分（2）把(0,0)ykxmkm，代入2215xy，得222(51)10550kxmkxm．……………………………………………8分当△0，22510km时，2551Mmkxk，251Mmyk，从而点225(,)5151mkmMkk．……………………………………………10分所以直线OM的方程15yxk．由221515yxkxy，，得2222551Pkxk．……………………………………………12分∵OP是OM，OQ的等比中项，∴2OPOMOQ，从而22252(51)PMQmkxxxk．……………………………………………14分由2222525512(51)kmkkk，得2mk，从而2mk，满足△0．……………15分∴mk为常数2．………………………………………………………………16分（可直接利用结论：斜率之积为定值，设直线斜率）12.设椭圆x2a2＋y2b2=1(a＞b＞0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是．13.点M是椭圆22221(0)xyabab上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．14.18-1．已知点M是圆C：22(1)8xy上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足2DMDP，NPDM=0，动点N的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值。18-2.如图，12,FF分别是椭圆22:143xyC的左，右焦点，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点2F作直线2PF的垂线交直线4x于点Q．（1）当112PFFF时，求点Q的坐标；（2）判断直线PQ与直线OP的斜率之积是否为定值?若是，请求出定值；若不是，说明理由；（3）证明：直线PQ与椭圆C只有一个公共点．18-3.在平面直角坐标系xOy中，过定点T（t，0）（t为已知常数）作一条直线与椭圆22221(0)xyabab相交于A，B两个不同点，求△AOB面积S的最大值．18-4.已知椭圆G：22221(0)xyabab过点A（0，5），B（8，3），C，D在椭圆G上，直线CD过坐标原点O，且yxMOQPFxyF2F1OQP在线段AB的右下侧．求：（1）椭圆G的方程；（2）四边形ABCD的面积的最大值．18-5.如图，已知椭圆22:110025xyE的上顶点为A，直线y4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；（3）若BPmBAnBCuuruuruuur（m，n为实数），求mn的最大值．18-6.已知椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为33，它的上顶点为A，左、右焦点分别为12,FF，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C．（1）求证直线BO平分线段AC；（2）设点P（m，n