倍长中线与截长补短法

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初中数学辅助线专题(辅助线口诀)辅助线一般作法初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。1、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。例如:如图4-1:AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CFEF一、倍长法14图ABCDEFM1234证明:廷长ED至M,使DM=DE,连接CM,MF。在△BDE和△CDM中,BD=CD(中点定义)∠1=∠5(对顶角相等)ED=MD(辅助线作法)∴△BDE≌△CDM(SAS)又∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义)∴∠3+∠2=90°即:∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD(辅助线作法)∠EDF=∠FDM(已证)DF=DF(公共边)∴△EDF≌△MDF(SAS)∴EF=MF(全等三角形对应边相等)∵在△CMF中,CF+CMMF(三角形两边之和大于第三边)∴BE+CFEF14图ABCDEFM1234在三角形中线时,常廷长加倍中线,构造全等三角形。例如:如图5-1:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC2AD分析:要证AB+AC2AD,由图想到:AB+BDAD,AC+CDAD,所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去ABCDE15图证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE∵AD为△ABC的中线(已知)∴BD=CD(中线定义)在△ACD和△EBD中BD=CD(已证)∠1=∠2(对顶角相等)AD=ED(辅助线作法)∴△ACD≌△EBD(SAS)∴BE=CA(全等三角形对应边相等)∵在△ABE中有:AB+BEAE(三角形两边之和大于第三边)∴AB+AC2AD。(常延长中线加倍,构造全等三角形)ABCDE15图练习•已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图5-2,求证EF=2AD。ABCDEF25图二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段,可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条,再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短,即把两短线段补成一条,再证它与长线段相等。让我们来大显身手吧!例如:已知如图6-1:在△ABC中,ABAC,∠1=∠2,P为AD上任一点求证:AB-ACPB-PC。ABCDNMP16图12要证:AB-ACPB-PC,想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PNBN即:AB-ACPB-PC。思路导航ABCDNMP16图12证明:(截长法)在AB上截取AN=AC连接PN在△APN和△APC中AN=AC(辅助线作法)∠1=∠2(已知)AP=AP(公共边)∴△APN≌△APC(SAS)∴PC=PN(全等三角形对应边相等)∵在△BPN中,有PB-PNBN(三角形两边之差小于第三边)∴BP-PCAB-ACABCDNMP16图12证明:(补短法)延长AC至M,使AM=AB,连接PM在△ABP和△AMP中AB=AM(辅助线作法)∠1=∠2(已知)AP=AP(公共边)∴△ABP≌△AMP(SAS)∴PB=PM(全等三角形对应边相等)又∵在△PCM中有:CMPM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-ACPB-PC。ABCDNMP16图12

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