高中数学基本不等式练习题答案

精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创1/18高中数学基本不等式练习题答案1.若a,b,c?R,且a?b，则下列不等式中一定成立的是c2?0Dc2?0A.a?b?b?cB.ac?bcC.a?b22222.对于任意实数a,b,c,d，命题①若a?b,c?0,则ac?bc；②若a?b，则ac?bc；③若ac?bc，则a?b；④若a?b，则11?；⑤若a?b?0,c?d?0，则ac?bd。其中正确的个数是abA.1B.2C.D.43.已知??2??????2，则???2的取值范围是A.?????????,?B.[?,0]C.[?,0)D.[0,]22?22?ab4.已知a,b?R?,且a?b?5，则2?2的最小值是A.32B.C.D.10215．下列命题中，其正确的命题个数为①x?的最小值是2；的最小值是2；③log2x?logx2的x最小值2；④0?x??2,tanx?cotx的最小值是2；⑤3x?3?x的最小值是2.精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创2/18A.1B.C.3D.46.若a,b?R,下列不等式中正确的是2a2?b2?a?b??a?b?a?bA.?B.??ab??ab???2222????22?a2?b2?a?b?a2?b2?a?b?C.D.???ab?ab????2?2??2?7.已知x,y是正数，且2219??1，则x?y的最小值是xyA.6B.12C.16D.248.设x?0,y?0,xy?4，则s?取最小值时x的值为A.1B.2C.D.29.甲乙两人同时从A地出发B地，甲在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2，乙在前一半时间用速度v1，在后一般时间用速度v2，则两人中谁先到达A.甲B.乙C.两人同时D.无法确定10.若x,y?R,且x2?y2?4，则2xy的最小值为x?y?21A.2?B.1?C.-2D.?二．填空题11.若1?a?4,?2?b?4，则2a?b的取值范围是12.若x?R,则x与x?1的大小关系是13.函数y?22的最小值是精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创3/1814.已知x?4,函数y??x?三．解答题1，当x?时，函数有最值是?x15.已知正数x,y满足x?2y?1，求11?的最小值。xy16.已知a?0,且a?1,x?loga,y?loga，试比较x,y的大小。高中数学基本不等式的巧用a＋b1．基本不等式：ab≤2基本不等式成立的条件：等号成立的条件：当且仅当时取等号．．几个重要的不等式ba?a＋b?2；a2＋b2≥2ab；a＋b≥2；ab≤??2?a2＋b2?a＋b?2．2≥??2?3．算术平均数与几何平均数a＋b设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为2ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是2p.p2如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy4简记：精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创4/18和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是2技巧和公式等号成立的条件等．两个变形222≥ab；这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．“正”“定”“等”的条件．应用一：求最值例1：求下列函数的值域11y＝x＋y＝3x＋2xx解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?技巧二：凑系数例1.当时，求y?x的最大值。5，求函数y?4x?2?1的最大值。4x?5技巧三：分离精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创5/18x2?7x?10的值域。例3.求y?x?1。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?例：求函数y?a的单调性。x2的值域。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.11x2?3x?1,x?,x?y?2sinx?,y?2x?y?sinxx?3x2．已知0?x?1，求函数y?的最大值.；3．0?x?2，求函数y?3.条件求最值精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/18ab1.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是.11变式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。：已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。xy?变式：若x,y?R且2x?y?1，求1?1的最小值xy?已知a,b,x,y?R且a?b?1，求xxy?y的最小值1＋y的最大值.1精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创7/18技巧七、已知x，y为正实数，且x＋y2＝1，求x技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab的最小值.技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a23xy的最值.?b2?c2?ab?bc?ca1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：≥8abc例6：已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：?应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x?0,y?0且??1??1??1??1???1???1???a??b??c?19??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创8/18xy应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a?b?1,P?11a?lgb,Q?1a?b,R?lg，则P,Q,R的大小关系是.2解：y＝3x＋≥2x13x·2x∴值域为，+∞）当x＞0时，y＝x＋≥x1x·＝2；x1x=－x11当x＜0时，y＝x=－≤－2xx∴值域为解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/181不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，x?5511??x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?14x?55?4x??当且仅当5?4x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。?4x知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。当,即精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创10/18时,y?5?解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。2?7?A?B，g恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g1?t?t2?t，则y??因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,???。分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：和3都是正数，3?3≥23a?3b?23a?b?6ababab当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/18时，3?3的最小值是6．ab1t1t1t5。?5?2??abab不等式的基本知识不等式与不等关系1、应用不等式表示不等关系；不等式的主要性质：对称性：a?b?b?a传递性：a?b,b?c?a?c加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bca?b?0,c?d?0?ac?bd倒数法则：a?b,ab?0?11?乘方法则：a?b?0?an?bnab开方法则：a?b?0?a?2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法3、应用不等式性质证明不等式解不等式1、一元二次不等式的解法精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/18一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：2设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种情况22如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；根据曲线显现f的符号变化规律，写出不等式的解集。如：?x?1??x?1??x?2??033、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f?0?fg?0;g?fg?0f?0??g?g?04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/18D上f?x?max?B线性规划1、用二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创14/18题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：寻找线性约束条件，列出线性目标函数；由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解?a?b1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么a?b?ab.2?a?b?变形：有:a+b≥2ab；ab≤??,当且仅当.??3．如果a,b∈R+,a·b=P,当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;S2如果a,b∈R+,且a+b=S,当且仅当a=b时,ab有最大值.注：当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：a、b、c?2?bb?mR，a2?b2?c2?ab?bc?ca；若a?b?0,m?0，则?。精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原