高中数学复习简单的三角恒等变换人教版必修4

简单的三角恒等变换掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．•能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).•2011·考纲下载1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容．2.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题.请注意!课前自助餐课本导读1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．2．半角公式(不要求记忆)(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α＝2·2α；α2＝2·α4；3α＝2·3α2都适用．4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；升幂公式cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.1．tan15°＋1tan15°＝()A．2B．2＋3C．4D.433解析方法一tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝1cos15°sin15°＝2sin30°＝4.答案C教材回归方法二tan15°＋1tan15°＝1－cos30°sin30°＋1sin30°1＋cos30°＝1－cos30°sin30°＋1＋cos30°sin30°＝2sin30°＝4.2．已知θ2是第四象限角，且cosθ2＝1＋xx，则sinθ等于()A．－21＋xxB.21＋xxC．－21－xxD.2－1－xx解析θ2是第四象限角，sinθ2＝－－1x(x0)，答案Dsinθ＝2sinθ2cosθ2＝－2－1x·1＋xx＝－2－1－x|x|＝2－1－xx.3．已知sinαcosα1－cos2α＝1，tan(α－β)＝－23，则tan(β－2α)＝____.解析由已知sinαcosα1－cos2α＝1，得sinαcosα1－1－2sin2α＝cosα2sinα＝1，答案18高考调研·新课标高考总复习∴tanα＝12，又tan(α－β)＝－23，∴tan(β－2α)＝－tan[(α－β)＋α]＝－tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝－－23＋121－（－23）×12＝18.4．(2011·衡水调研)已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于()A．－59B．－79C.59D.79答案B解析∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝2×(13)2－1＝－79，故选B.5．(2010·新课标全国卷)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2解析∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，答案A∴1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2cosα2－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.故选A.例1已知f(x)＝1＋cosx－sinx1－sinx－cosx＋1－cosx－sinx1－sinx＋cosx且x≠2kπ＋π2，k∈Z.且x≠kπ＋π，k∈Z.(1)化简f(x)；(2)是否存在x，使得tanx2·f(x)与1＋tan2x2sinx相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．授人以渔题型一化简问题【解析】(1)∵1＋cosx－sinx1－sinx－cosx＝2cos2x2－2sinx2cosx22sin2x2－2sinx2cosx2＝2cosx2（cosx2－sinx2）－2sinx2（cosx2－sinx2）＝－cosx2sinx2，同理得1－cosx－sinx1－sinx＋cosx＝－sinx2cosx2∴f(x)＝－cosx2sinx2－sinx2cosx2＝－cos2x2＋sin2x2sinx2·cosx2＝－2sinx，且x≠2kπ＋π2，k∈Z；高考调研·新课标高考总复习(2)若tanx2·f(x)＝1＋tan2x2sinx，则－2tanx2sinx＝1＋tan2x2sinx，∴2tanx21＋tan2x2＝－1，即sinx＝－1，此时x＝2kπ＋3π2，(k∈Z)，即为存在的值．探究1分式的化简关键是将分子、分母、分解因式，然后约分，运用二倍角的变形公式．可将一些多项式化为完全平方式，便于分解因式．同学们应熟练掌握下列公式．1±sin2α＝(sinα±cosα)21＋cos2α＝2cos2α1－cos2α＝2sin2α在一些根式的化简中也经常用到上述公式．思考题1化简：1＋sinα＋cosα（sinα2－cosα2）2＋2cosα(πα2π)．【解析】原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）（sinα2－cosα2）4cos2α2＝2cosα2（cosα2＋sinα2）（sinα2－cosα2）2|cosα2|＝cosα2（sin2α2－cos2α2）|cosα2|＝cosα2（－cosα）|cosα2|，∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα20.∴原式＝－cosα2cosα－cosα2＝cosα.例2(1)函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期为______．(2)函数f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的值域为____．【解析】①f(x)＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x2)2＋1＋cos2x2＝14cos22x＋34＝14·1＋cos4x2＋34＝18cos4x＋78∴f(x)的最小正周期为T＝2π4＝π2②f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)∴f(x)的值域为[－2,2]探究2三角函数式的化简，经常需要降次，下列公式经常用于降次cos2x－sin2x＝cos2xsin2x＝1－cos2x2，cos2x＝1＋cos2x2sinxcosx＝12sin2x，sin2x＋cos2x＝1.思考题2(2011·成都诊断)已知f(x)＝sin4x＋cos4x＋2sin3xcosx－sinxcosx－34，求f(x)的最小正周期．【解析】f(x)＝24cos(4x＋π4)，T＝π2例3求值：①1sin10°－3cos10°；②sin10°·sin50°·sin70°.【解析】①原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin(30°－10°)sin20°＝4.题型二求值问题②原式＝cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝sin20°8sin20°＝18.探究3对于给角求值问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，应仔细观察非特殊角与特殊角的关系，利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还可逆用、变形运用公式．思考题3求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°；(2)(tan10°－3)sin40°.【解析】(1)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝23sin12°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝22sin24°cos24°cos48°24cos6°＝2sin48°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°24cos6°＝116.(2)原式＝(sin10°cos10°－3)sin40°＝sin10°－3cos10°cos10°sin40°＝2sin(10°－60°)cos10°cos50°＝－2sin50°cos50°cos10°＝－sin100°cos10°＝－1例4已知cos(π4－α)＝35，－3π2α－π2.求cos(2α－π4)的值．【解析】方法一cos2(α－π4)＝2cos2(π4－α)－1＝2×(35)2－1＝－725.∵－7π4α－π4－3π4，且cos(π4－α)＝350，从而sin(α－π4)＝45，sin2(α－π4)＝2sin(α－π4)cos(α－π4)＝2425，cos(2α－π4)＝cos[2(a－π4)＋π4]＝22[cos2(α－π4)－sin2(α－π4)]＝－31502.方法二由cos(π4－α)＝35，得22(cosα＋sinα)＝35①两边平方，得1＋2cosαsinα＝1825，sin2α＝2cosαsinα＝－725，(cosα－sinα)2＝1－(－725)＝3225.据2cosαsinα＝－7250及－3π2α－π2，知－3π2α－π，所以cosα0，sinα0.故有cosα－sinα＝－425②①×②，得cos2α＝－2425，cos(2α－π4)＝22(cos2α＋sin2α)＝－31502.探究4①该题对三角函数性质和三角公式的考查有一定的综合性和灵活性．演算的推理性较强，尤其表现在确定三角函数值的正负时，必须应用一定的技巧，增添了解答的难度．不过，所需要用到的公式和性质，都是最基础的，为多数考生所熟悉．因此，绝大多数的考生都能入手解题，不致束手无策．②解决此类问题相对来说，已知条件中的角α＋π4，尽量不拆开而作为一个整体去表示其他角，这样可减少运算量．注意下列变换：sin2x＝cos(π2－2x)，sin2x＝－cos(π2＋2x)cos2x＝sin(π2－2x)，cos2x＝sin(π2＋2x)以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与π4±x的三角函数联系在一起．思考题4若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【解析】∵17π12x7π4，∴5π3π4＋x2π.又cos(π4＋x)＝35，sin(π4＋x)＝－45.cosx＝cos[(π4＋x)－π4]＝cos(π4＋x)cosπ4＋sin(π4＋x)sinπ4＝－210∴sinx＝－7210，tanx＝7.sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2(－7210)·（－210）[phone]＝－2875题型三三角恒等式的证明•例5已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.•【分析】2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α•【证明】∵sin(2α＋β)＝2sinβ•∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]•∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα•＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα•∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα•∴tan(α＋β)＝3tanα•探究51.证明恒等式的方法：