2.1 传递函数

1第二章控制系统的数学模型数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。描述控制系统动态特性的数学模型，称为动态模型。在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程称为静态模型。常用数学模型：常用解析形式的动态模型有微分方程、差分方程、传递函数；常用图形形式的动态模型有动态结构图、信号流图、频率特性。建立数学模型的目的：用于分析控制系统的性能和设计满足要求性能的控制系统。不同的分析设计方法常采用不同的数学模型，同一系统可用不同的数学模型表示。2第二章控制系统的数学模型2.1传递函数2.2闭环控制系统的动态结构图2.3动态结构图的等效变换2.4反馈控制系统的传递函数2.5典型环节的传递函数2.6信号流图与梅逊公式32.1传递函数微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。4一、传递函数传递函数:线性定常系统的传递函数，定义为在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：5式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。)(][)(][11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn于是，由定义得系统传递函数为：nnaaaa,,,,110nnbbbb,,,,110设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm6)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmmG(s)R(s)C(s)(动态)方框图：njjmiipszsK11*)()(njjmiisTsK11)1()1(M(s)–分子多项式N(s)–分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。(零极点形式、首一多项式形式、伊万思形式)(时间常数形式、尾一多项式形式、伯德形式)7zi–传递函数的零点，即M(s)=0的根。pj–传递函数的极点，即特征方程N(s)=0的根，又称特征根。传递函数的阶：特征多项式的阶次n即为传递函数的阶次，对应的系统为n阶系统。静态放大系数(静态增益)：输出量与输入量静态值之比。)()()()0()0()0(0rcabsGRCGKnms根轨迹增益：00*abKnjjmiinnnnmmmmpszsKasasasabsbsbsbsRsCsG11*11101110)()()()()(8传递函数由系统的结构和参数确定，与输入信号的形式与大小无关。传递函数是复变量s的有理真分式函数，所有的系数均为实常数，且m≤n。性质1：性质2：二、传递函数的特点dtdS微分方程传递函数如果传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质3：传递函数与微分方程之间可以互相转换。性质4：)]([)]([)()()()(1)]([)(11sGLsCLtksRsGsCtLsR传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应。性质5：传递函数的局限性：传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统，只直接反映系统在零状态下的动态特性。9三、传递函数的求法1、根据系统的微分方程求传递函数求系统传递函数的几个步骤：•选定系统或元件的输入量、输出量。•列写原始方程。利用适当的物理定律、化学定律或其它学科的公式和定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）。•在零初始条件下进行拉氏变换，消去中间变量，得到传递函数。10cuidtC1解：根据克希霍夫定律，列写出方程例2-1试求图2-3所示RLC网络的传递函数。输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。,1ruidtCRidtdiL在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后，得)()(1)()(sUsICssRIsLsIr)()(1sUsICsc消去中间变量I(s)后得)()()1(2sUsURCsLCsrc则求得传递函数11)()()(2RCsLCssUsUsGrcuruc＋－＋－图2-3RLC网络RLCi11F(t)y(t)mkf图2-4机械平移系统m–质量块的质量f–阻尼器的阻尼系数k–弹簧的弹性系数F(t)–外力y(t)–质量块的位移例2-2设有一质量-弹簧-阻尼器的机械平移系统，如图2-4所示。外力F(t)为输入量，质量块的位移y(t)为输出量，试求系统的传递函数G(s)。解：弹簧的恢复力)()(1tkytF阻尼器的阻力dttdyftF)()(2根据牛顿第二定律，得到22)()()()(dttdymdttdyftkytF传递函数kfsmssFsYsG21)()()(12RLC网络机械平移系统11)()()(2RCsLCssUsUsGrckfsmssFsYsG21)()()(令LCTLCR21，则121)(22TssTsG12)(22TssTKsG令kmTmkf21，kK1，则T–时间常数，ζ–阻尼比，Ｋ–(静态)放大系数或增益。13(3)模拟技术：有了相似系统的概念，可以利用对一种系统的研究来代替对另一种系统的研究，这就是所谓的模拟技术。特别是用电子模拟装置模拟机械系统及其它物理系统。讨论：(1)两个完全不同的系统可能具有相同的传递函数。(2)相似系统：物理量不同的两个系统具有相同形式的微分方程(数学模型)，这种系统称为相似系统。而在微分方程中占据相同位置的物理量称为相似量。机械系统Fmfkyv电路系统urLR1/Cqi表:相似量(uc=q/C)RLC网络11)()()(2RCsLCssUsUsGrc机械平移系统1)/()/(/1)()()(2skfskmksFsYsG142、用复阻抗概念求电路的传递函数例2-3无源网络试求图2-5所示电路的传递函数。ur和uc分别是电路的输入量和输出量uruc＋－＋－图2-5RLC网络R2LCR1u1＋－Ur(s)Uc(s)＋－＋－R2Ls1/CsR1U1(s)＋－LsCsRRLCsRRCsRRCsRRLsCsRRsUsUr)1()()1()/1//()/1//()()(212212121211)(11)(/1/1)(1212sUCsRsUCsRCssUcLsCsRRLCsRRRsUsUsGrc)1()()()()(212211传递函数：解15例2-4有源网络试求图2-7所示PI(比例-积分)调节器的传递函数。ur和uc分别是有源网络的输入量和输出量)/11(/1)()()(21212CsRRRRCsRsUsUsGrc传递函数解uruc＋－＋－图2-7PI调节器R2CR1＋－比例-积分调节器)/11()(sTKsGipKp=R2/R1–调节器的增益Ti=R2C–调节器的时间常数163、非线性微分方程的线性化•现实系统中的元部件几乎都具有程度不同的非线性。•解析法求解非线性微分方程非常困难。在工程上，将非线性微分方程简化为线性微分方程具有很大的实际意义。非线性微分方程的线性化：在工程上，将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程这一过程，称为非线性微分方程的线性化。小偏差法：将非线性特性在(平衡)工作点附近(微小邻域)展开成泰勒级数，去掉高阶项而取其线性部分。17例非线性方程y=f(x)，工作点(x0，y0)，求其小偏差线性化模型。在工作点(x0，y0)处,台劳级数展开式为200''00'0))((!21)')(()()(xxxfxxxfxfxfy0xyf(x)x0x0+Δxy0y0+Δy增量较小时略去其高次幂项而取一次近似式，则有))(()()(00'00xxxfxfxfyy0xxx0yyy令式中，Δy=KΔx则线性化方程为)(0'xfKK为工作点处f(x)的一阶导数值，即该点的切线斜率。忽略增量符号，可写成y=Kx(但应明确它是一个增量方程，y、x均为对平衡工作点的增量)。几何意义：以工作点处的切线代替工作点邻域的曲线。18例流体运动系统hQ1Q2Q1–输入流量Q2–输出流量h–液位高度质量守恒定律21QQdtdhAF(AF–贮槽的横截面积)节流阀的流量公式hCQv2(Cv–节流阀的流量系数)则1QhCdtdhAvF在工作点h0、Q10、Q20处hhhh0021(非线性项)110000)21()(QQhhhCdthhdAvF那么19110000)21()(QQhhhCdthhdAvF02010hCQQv在工作点处的平衡关系线性化方程式102QhhCdthdAvF可以省略Δ，简写成102QhhCdtdhAvF那么，传递函数02/1)()()(hCsAsQsHsGvF20四、常见元部件的传递函数)()()(21ttteEKsθ1Ksθ2θ1θ2us+-图2-10角度误差检测器θmax–电位器的最大转角E–施加在电位器两端的电压Ks=E/θmax–比例系数)()(tKtuesssesKssUsG)()()(传递函数输入量：输出量：θe(t)us(t)1、角度误差检测器21ttKdtdKtu)(u(a)永磁式直流测速发电机＋－磁铁转子u＋－~(b)交流测速发电机输出绕组激磁绕组ω(t)--被测物体的转速，输入量；u(t)–发电机的输出电压，输出量。直流测速发电机与交流测速发电机的输出电压均正比于电机转子的转速，即2、测速发电机：用来测量旋转物体的转速。sKssUsGts)()()(或tsKssUsG)()()(传递函数图2-13测速发电机22dtdJfM3、机械转动系统：JMf图2-14机械转动系统M–转矩，输入量；ω–转速，输出量。J–旋转物体的转动惯量；f–阻尼器的粘性摩擦系数；力矩平衡方程或fJssMssG1)()()(传递函数)(1)()()(fJsssMssG231112121MdtdfdtdJMm4、齿轮系：用来减速或增大力矩。电动机轴的力矩平衡方程J1、f11Mm图2-15齿轮系J2、f22M2M1负载电动机Z1Z2Mm–电磁力矩，输入量；θ1–电动机轴的角位移，输出量。Z1、Z2–主、从动轮的齿数；i–齿轮传动的传动比；机械原理dtddtdMMZZi21211212负载轴的力矩平衡方程dtdfdtdJM222222224或