2.1 平面应力和平面应变解析

弹性力学的平面问题要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；边界条件的描述等一平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿z轴方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0xzzx结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则,u,x,x沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0z0yzzy0xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy——平面应变问题注：(1)平面应变问题中0z但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：)0(,,,zyzxxyzyx——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题平面应力问题平面应变问题非平面问题√3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,,xyyx,,vu,——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；二平面问题基本方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx,,——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyxyyNlmYyxxNmlXYlmXmlsxysysxysx)()()()(——平面问题的应力边界条件斜面上的应力xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvyuxvyvxuxyyx——几何方程说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。xyyx,,xyyx,,（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy——以两线段夹角减小为正，增大为负。2.刚体位移物体无变形，只有刚体位移。即：,0,0,0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：)()(21xfvyfu(d)将(d)代入(c)，得：0)()(21dxxdfdyydf或写成：dxxdfdyydf)()(21∵上式中，左边仅为y的函数，右边仅x的函数，∴两边只能等于同一常数，即dyydf)(1(d)积分(e)，得：dxxdf)(2(e)其中，u0、v0为积分常数。（x、y方向的刚体位移），代入（d）得:(10)xvvyuu00——刚体位移表达式讨论：xvvyuu00——刚体位移表达式（1）2222yxvu,0,00时当vu仅有x方向平移。（2）,0,0vuu则,0,000时当uv仅有y方向平移。,0,0uvv则（3）,0,000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan说明：OPr——P点沿切向绕O点转动ω——绕O点转过的角度（刚性转动）物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；v为侧向收缩系数，又称泊松比。2(1)EGv（1）平面应力问题的物理方程1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面应力问题中1()yyxvE1()xxyvE2(1)xyxyvE（15）——平面应力问题的物理方程注：(1)0z()zxyvE(2)——物理方程的另一形式2()1yyxEvv2()1xxyEvv2(1)xyxyEv0zxyzz（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中21()1xxyvvEv2(1)xyxyvE（16）——平面应变问题的物理方程注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式：21()1yyxvvEv由式（13）第三式，得()zxyv0zxyzz(1)平面应变问题中0z，但0z()zxyv1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1（3）两类平面问题物理方程的转换：21()1xxyvvEv2(1)xyxyvE（16）——平面应变问题的物理方程21()1yyxvvEv1()yyxvE1()xxyvE2(1)xyxyvE——平面应力问题的物理方程（15）(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：1vv(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：21Ev1vv2(12)(1)EvvEE边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2（15）未知量数：vuxyyxxyyx,,,,,,,8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqPuSSuSSS是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界SuS（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：vu,vvuuss（17）——平面问题的位移边界条件说明：,0时当vu称为固定位移边界。xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件给定面力分量边界——应力边界YX,xyOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的应力分析，得xyyNlmYyxxNmlX式中取：YYXXNN,sxyxysyysxx,,得到：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）式中：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：——平面问题的应力边界条件垂直x轴的边界：.1,0ml垂直y轴的边界：.0,1mlYXsxysx,XYsyssy,例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1),0x00ssvu0,0xvyu(2),ax0,1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0,0sxysx(3),hy1,0mlqsxysysxysx0)1(0)1(00,0sxysy(4),hy1,0ml00)1(0)1(0sxysysxysx0,sxysyq说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：.0,0vu0,0YXqYX,00,0YX内容回顾：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。yxxyyx,,yxxyyx,,xyyztba水坝滚柱——位移边界条件2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2（15）（4）边界条件：1）2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,——应力边界条件——平面应力问题例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：1,0ml0)(,0plxxpYX代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2)BC段（x=l）：0,1ml0|,0|lxlxvu0,0lxlxxvyu(3)AC段（y=xtanβ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0)1(0)1(0xpyxyxyxN例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：sin,cosmlsinyYcosyX由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx