2.1 时域数学模型

1自动控制原理山东科技大学信息与电气工程学院高宏岩自动控制原理2第二章控制系统的数学模型引言2.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3结构图及其等效变换2.4信号流图与梅森公式2.5闭环系统的传递函数2.6数学模型的MATLAB实现2.7控制系统建模实例3引言1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。4分析和设计控制系统时，常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及应用。5数学模型建立方法a.解析法解析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。b.实验法实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。黑盒输入输出6无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似的数学模型。本章主要采用解析法建立系统的数学模型，关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。7微分方程是描述各种控制系统动态特性的最基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以及非线性微分方程的线性化问题。2.1控制系统的时域数学模型——微分方程82.1.1线性元件微分方程的建立用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下：(1)根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变量。(2)依据各变量所遵循的物理或化学定律，列写出系统中元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程。(4)将微分方程标准化：即将与输入有关的各项放在方程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物理意义的形式。9图2-1【例2-1】试列写如图2-1所示的RLC无源网络的微分方程。ui(t)为输入变量，uo(t)为输出变量。)()()()(tututRidttdiLiodttduCtio)()(dttdiL)()(tRi)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo10maF牛顿定律方向见图外力),t(F.1相反方向与比弹簧恢复力与位移成正)t(x),t(kx.2相反方向与成正比阻尼器阻力与位移速度)t(x,dt)t(dxf.322dt)t(xda加速度【例2-2】图2-2是弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统。其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。22)()()()(dttxdmdttdxftkxtF)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm11【例2-3】试列写如图所示的电枢控制直流电动机的微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速ωm为输出量。Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机轴上的总负载转矩。+-12aaaaaaE)t(iRdt)t(diL)t(u：电枢回路电压平衡方程电枢反电势：)t(CEmea电磁转矩方程：)t(iC)t(Mamm：电机轴上转矩平衡方程)()()()(tMtMtfdttdJmcmmmm电机轴上总的转动惯量mJ系数电机轴上总的粘性摩擦mf)t()CCfR(dt)t(d)JRfL(dt)t(dJLmemmammamamma22)t(MRdt)t(dML)t(uCcacaam可得下式：忽略aL)()()()(tMKtuKtdttdTcammm21电机的时间常数mT电机的传递系数1K+-Ce——电动机电势常数Cm——电动机转矩常数13当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化)()()()(21tMKtuKtdttdTCammm)()(,)(21emmaaemmamemmamamCCfRRKCCfRCKCCfRJRT)(1)(tuCtaem14)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。152.1.2控制系统微分方程的建立用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下：(1)确定系统的输入、输出变量。(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出变量的微分方程。(4)标准化。16【例2-4】试列写如图所示闭环调速控制系统的微分方程。1721111:()()ititRuuuKuuR运放11211211dd2:()()dduuRuRCuKuRtt运放18功率放大器：功率放大环节是晶闸管整流装置，u2为输入量，ua为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后和非线性因素时，二者的关系为式中：K3是功放的放大系数。23auKu19:mmmmaccdTKuKMdt直流电机1:mi齿轮系:ttuK测速发电机cM负载扰动力矩20上式表明：电机转速控制中，电机的转速ω既与给定作用ui有关，又和扰动作用Mc有关。运放1121111,)(RRKuKuuKuefi运放212211122,,)(RRKCRudtduKu功放23uKua直流电动机CCammmmMKuKdtdT减速器（齿轮系）mi1测速发电机ttKucCigigmMKuKdtduKdtdT得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）212.1.3微分方程的求解建立微分方程的目的之一是为了用数学方法定量地研究系统的动态特性。给出输入信号r(t)，分析输出响应c(t)的方程，就是解微分方程。线性定常系统的微分方程可用经典法、拉氏变换法或计算机求解。其中拉氏变换法可将微积分运算转化为代数运算，且可查表，简单实用。本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程。22用拉氏变换法求解微分方程一般应遵循以下步骤：(1)考虑初始条件，将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程。(2)解代数方程，求出C(s)表达式，并将C(s)展开成部分分式形式。(3)进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的全解c(t)。23【例2-5】如图所示RC网络，S闭合前电容上已有电压U0(U0＜U)，即Uc(0)＝U0，求S闭合后的uc(t)。24解设回路电流为i(t)，S闭合瞬间，ur(t)＝U·1(t)。由基尔霍夫定律可得系统微分方程为将上式进行拉氏变换得)(1)(d)(dcctUtuttuRCcc()(0)()cURCsUsRCUUss25则将上式进行拉氏反变换，得到微分方程的解为RCsURCsUsUURCsRCRCssUsU111)1()(00cRCtRCtUUUtuee)(0c零初始条件响应零输入响应26在式中，方程右边前两项是在零初始条件(或状态)下，网络输入电压产生的输出分量，称为零状态响应；后一项是由于系统受到初始状态的影响，表现为非零的初始条件(或状态)所确定的解，与输入电压无关，称为零输入响应。当初始条件全为零时，则零输入响应为零。研究系统的动态特性一般可只研究零初始条件响应。272.1.4非线性微分方程线性化任何元件和系统几乎程度不同地都存在着非线性关系。因此，描述输入、输出关系的微分方程一般是非线性微分方程。非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题。28小偏差线性化法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。29设具有连续变化的非线性函数可表示为y＝f(x)，如图所示。若取某平衡状态A为静态工作点，对应有y0＝f(x0)。当x＝x0＋Δx时，有y＝y0＋Δy，如B点。设函数y＝f(x)在(x0，y0)附近连续可微，则可将函数在(x0，y0)附近用泰勒级数展开为202200)(d)(d!21)(d)(d)()(00xxxxfxxxxfxfxfyxxxx30当变化量Δx＝x－x0很小时，可忽略上式中二次以上各项，则有再用增量Δy和Δx表示，则式变为Δy＝K·Δx(*)式中：是比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。式(*)是非线性函数y＝f(x)的线性化表示。0ddxxxyK)(d)(d)()(0000xxxxfxfxfyyxx31系统线性化的条件①系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点;②在运行过程中偏离且满足小偏差条件;③在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。32【例2-6】设铁芯线圈如图(a)所示，其磁通ψ(i)曲线如图(b)所示。试列写以ui为输入量，i为输出量的线性化微分方程。图2-6铁芯线圈及磁通ψ(i)曲线33解由基尔霍夫定律可写出回路方程为ui＝uL＋Ri而线圈磁通变化时产生的感应电势为11d()d()ddddLiiiuKKtit34式中：dψ(i)/di是线圈中电流i的非线性函数，因此得到为非线性微分方程。设铁芯线圈原来处于某平衡点(ui0，i0)，则ui0＝Ri0；且在工作过程中电压和电流只在平衡点附近作微小变化：ui＝ui0＋Δui，i＝i0＋Δi，则ψ＝ψ0＋Δψ。设ψ(i)在i0的邻域内连续可导，这样可将ψ(i)在i0附近展开为泰勒级数：1d()dddiiiKRiuit35式中：。代入1d()dddiiiKRiuit00022002d1ddΔΔΔd2!ddiiiiiiiiiiii0d()diiiKi00dΔΔdiiiKii1ddiiKKRiut得：362.1.5运动的模态运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐次微分方程的通解所包含的振型函数。（1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为，则有运动的模态为：等函数；n,,21tttneee,,,21（2）如果n阶微分方程的特征根中有多重根λ则有运动的模态为：等函数；ttette2,（3）如果n阶微分方程的特征根中有共轭复根j则有运动的模态为：和，或写成和tje)(tje)(