应用统计学第8章--参数假设检验举例

1本章教学目标掌握运用Excel的“数据分析”及其统计函数功能求解两个总体的假设检验问题。第8章两个总体的假设检验2本章主要内容：§8.1案例介绍§8.2两个独立正态总体均值的检验§8.3成对样本试验的均值检验§8.4两个正态总体方差的检验(F检验)§8.5两个总体比例的检验§8.6两个总体的假设检验小结3【案例1】新工艺是否有效？某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为10560(kg/cm2)。现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取10根，测得抗拉强度为：10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670求得新钢丝的平均抗拉强度为10631.4(kg/cm2)。是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝，即新工艺有效的结论?§8.1案例介绍4为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下：两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)病人安眠药12345678910甲1.90.81.10.1–0.14.45.51.64.63.4乙0.7–1.6–0.2–1.2–0.13.43.70.80.02.0(1)哪种安眠药的疗效好？(2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时结论如何？案例1——哪种安眠药的疗效好？521,XX设总体X1～N(1,12)，X2～N(2,22)，且X1和X2相互独立。和S12,S22分别是它们的样本的均值和样本方差，样本容量分别为n1和n2。原假设为H0：1=2§8.2两个独立正态总体均值的检验6可以证明，当H0为真时，统计量其中：,2)1()1(212222112nnSnSnSw2121/1/1nnSXXtw统计量备择假设2121/1/1nnSXXtw完全类似地，可以得到如下检验方法：～t(n1+n2-2)称为合并方差。1.12=22=2，212121)2(||212/nntt)2(21nntt)2(21nntt但2未知(t检验)7测得甲,乙两种品牌轿车的首次故障里程数数据如下：甲品牌X1：1200,1400,1580,1700,1900乙品牌X2：1100,1300,1800,1800,2000,2400设X1和X2的方差相同。问在水平＝0.05下，(1)两种轿车的平均首次故障里程数之间有无显著差异?(2)乙品牌轿车的平均首次故障里程是否比甲品牌有显著提高?【案例2】轿车质量差异的检验8解：⑴双边检验问题2)1()1(21222211nnSnSnSw2121/1/1||||nnSxxtw,15561x,17332xS12=269.62，99.47156.2694223956/15/1395|17331556|S22=471.9274.012=22=2未知，n1=5，H0：1=2H1：1≠2。由所给数据，可求得∵|t|=0.74t/2(n1+n2-2)=t0.025(9)故两种轿车的平均首次故障里程间无显著差异，即两种轿车的该项质量指标是处于同一水平的。n2=6，=2.26229(2)左边检验∵t=-0.74-t(n1+n2-2)=-t0.05(9)=-1.833故乙品牌轿车平均首次故障里程并不显著高于甲品牌。显然，对给定的水平，若单边检验不显著，则双边检验肯定不显著。但反之却不然，即若双边检验不显著，单边检验则有可能是显著的。H1：1＜210用Excel检验两总体均值可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：双样本等方差假设”，检验12=22=2，但2未知时两个总体的均值。在Excel的输出结果中：“P(T=t)单尾”t(统计量)0f(t)“P(T=t)单尾”的值(概率)—单边检验达到的临界显著性水平；“P(T=t)双尾”—双边检验达到的临界显著性水平。由图可知：P(T=t)双尾=2×P(T=t)单尾“P(T=t)单尾”和“P(T=t)双尾”统称为“p值”。11“P(T=t)单尾”与“P(T=t)双尾”的使用从而，若“P(T=t)单尾”或“P(T=t)双尾”0.05，则结果为不显著；“P(T=t)单尾”或“P(T=t)双尾”0.05，则一般显著；“P(T=t)单尾”或“P(T=t)双尾”0.01，则高度显著；“P(T=t)单尾”或“P(T=t)双尾”0.001，则极高度显著。本例中：∵“P(T=t)单尾”=0.23870.05；“P(T=t)双尾”=0.47730.05，故无论单边还是双边检验结果都不显著。tt“P(T=t)单尾”由图可知：tt等价于“P(T=t)单尾”tt/2等价于“P(T=t)双尾”12此时，可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：双样本异方差假设”检验12≠22且都未知时两个正态总体的均值。2.12≠22且未知13为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下：两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)病人安眠药12345678910甲1.90.81.10.1–0.14.45.51.64.63.4乙0.7–1.6–0.2–1.2–0.13.43.70.80.02.0(1)两种安眠药的疗效有无显著差异？(2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时两种安眠药的疗效间有无差异？【案例1】哪种安眠药的疗效好？14(1)设服用甲、乙两种安眠药的延长睡眠时间分别为X1,X2，,33.21x,75.02x18789.19002.2922wS10/110/18985.175.033.2||t故不能拒绝H0，两种安眠药的疗效间无显著差异。用Excel求解本案例S22=1.7892S12=2.0022，案例1解答8985.18609.11009.2)18(025.0tX1～N(1,2)，X2～N(2,2)，n1=n2=10。由试验方法知X1,X2独立。H0：1=2，H1：1≠2由表中所给数据，可求得：15,58.1x10/23.1058.1||t故两种安眠药疗效间的差异是高度显著的！=4.0621§8.3成对样本试验—案例1(2)解答由于此时X1,X2为同一组病人分别服用两种安眠药的疗效，因此X1,X2不独立，属于成对样本试验。对于这类“成对样本试验”的均值检验，应当化为单个正态总体的均值检验。方法如下：设X=X1-X2(服用甲、乙两种安眠药延长睡眠时间之差)，则X～N(,2)。H0：=0，H1：≠0由表中所给数据，可求得S=1.23，n=10t0.005(9)=3.249816可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：平均值的成对二样本分析”进行成对样本试验的均值检验。用Excel求解∵本例中“P(T=t)双尾”=0.00280.01，故两种安眠药的疗效间存在高度显著差异。1721Y/nX/nF1.F分布设X～2(n1)，Y～2(n2)，且X和Y相互独立，则随机变量服从自由度为(n1,n2)的F分布，记为F～F(n1,n2)n1为第一(分子的)自由度，n2为第二(分母的)自由度。§8.4两个正态总体方差的检验18F分布密度函数的图形xf(x)0n1=20,n2=10n1=20,n2=25n1=20,n2=10019F分布的右侧分位点F(n1,n2)F分布的右侧分位点为满足P{FF(n1,n2)}=的数值F(n1,n2)。F(n1,n2)f(x)x0F(n1,n2)有以下性质：F1-(n1,n2)=1/F(n2,n1)利用上式可求得F分布表中未给出的值的百分位点。如F0.95(10,15)=1/F0.05(15,10)20可用Excel的统计函数FINV返回F(n1，n2)。语法规则如下：格式：FINV(,n1,n2)功能:返回F(n1,n2)的值。用Excel求F(n1,n2)212.两总体方差的检验(F检验)原假设为H0：12=22。2221SSF统计量备择假设拒绝域2221SSF完全类似地，可以得到如下检验方法：～F(n1-1,n2-1)当H0为真时，统计量222122212221)1,1(212/nnFF)1,1(212/1nnFF或)1,1(21nnFF)1,1(211nnFF22【例2】在＝0.20下，检验【案例3】中两个正态总体的方差是否存在显著差异。解：由题意，H0：12=22，H1：12≠22，n1=5，n2=6由例5的计算结果，S12=269.62，S22=471.922221SSF229.4716.269=0.326F/2(n1-1,n2-1)=F0.1(4,5)=3.52F1-/2(n1-1,n2-1)=F1-0.1(4,5)=1/F0.1(5,4)=1/4.05=0.247∵F=0.326F1-0.1(4,5)=0.247F0.1(4,5)=3.52故在水平=0.20下，12与22间无显著差异。可知案例4中关于12=22的假定是合理的。思考题：本例中为什么要将取得较大？23可用Excel的【工具】→“数据分析”→“F检验：双样本方差”检验两个正态总体是否是同方差的。在Excel的输出结果中“P(F=f)单尾”与“P(T=t)单尾”的含义是相同的，即p值。用Excel求解∵本例中“P(F=f)单尾”的值为0.1503，故其双边检验所达到的显著性水平为2×0.1503=0.30060.20故在在水平＝0.20下，12与22间无显著差异。24§8.5大样本两个总体比例的检验设P1,P2分别是两个独立总体的总体比例，原假设为H0：P1=P2设p1,p2分别是它们的样本比例，n1,n2分别是它们的样本容量。则在大样本的条件下，22211121)1()1(nPPnPPppZ统计量由此，可以得到如下检验方法：统计量备择假设拒绝域21PP21PP21PP2/||ZZZZZZ22211121)1()1(nppnppppZ。近似服从)1,0(N22211121)1()1(nppnpppp25【案例3】女企业家对成功的理解是否不同对女企业家进行了一项研究来看她们对成功的理解。给她们提供了几个备选答案，如快乐/自我实现，销售/利润，成就/挑战。根据她们业务的总销售额将其分为几组。销售额在100万~500万元的为一组，少于100万元的为另一组，要研究的问题是：把销售/利润作为成功定义的比率，前一组是否高于后一组？假定我们以总销售额对女企业家进行定位。我们采访了100名总销售额低于100万元的女企业家，她们中有24个将销售/利润定义为成功。随后我们又采访了95名总销售额在100万~500万元的女企业家，其中有39人把销售/利润定义为成功。问在显著性水平＝0.01下，两组中将销售/利润定义为成功的比率是否有显著的差异。26两个总体的假设检验小结27小样本总体比例值的参数检验问题（补充）【案例】招聘测试问题某公司人力资源部要要招聘若干名某专业领域的工程师。出了10道选择题，每题有4个备选答案，其中只有一个是正确地。或者说，正确的比率只有0.25。问至少应当答对几道，才能考虑录取？分析：总体是0－1分布，B(1,p)。应聘者答对了X取值为1；答错了，X取值为0。一个完全瞎猜的应聘者，答对的概率应当是0.25，即p=0.25。28下课29课堂练习1解答)1(22/n)1(22/1n)9(/)1(2025.02