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相依樣本變異數分析AnalysisofVariance:CorrelatedSamples量化研究法二統計原理與分析技術第11章2基本原理•相依樣本設計（correlatedsampledesign）–進行變異數分析檢驗時，獨變項的不同水準的受試者並非獨立無關的個體，而是具有關聯的樣本–基本形式•重複量數設計(repeatedmeasureddesign;RM)–指同一個受試者重複接受不同的實驗處理或進行多次測量的變異數分析，稱為RM分析。•配對樣本設計(randomizedblockdesign,RB)–指具有配對關係的樣本接受不同的實驗處理的變異數分析，每一個配對稱為一個區組（block）–又稱為隨機區組設計（randomizedblockeddesign）3單因子相依樣本設計的資料形式•獨變項分組平均數–表示實驗或分組效果（p個獨變項各水準下的分組平均數）•區組平均數（橫列上區組平均數）–反應該區組的平均水準，也就是區組同質性所造成在依變項上的水準高低•細格效果–每一個細格只有一個觀察值，因此沒有細格內變異，沒有交互效果–細格間的變異視為隨機誤差獨變項ABlockmeana1a2..ap(betweensubjects)Block1Y11Y12..Y1p.1YBlock2Y21Y22..Y2p.2Y:::..:BlocknYn1Yn2..Ynp.nYmeanofA1.Y2.Y..pY.GY區組效果獨變項效果細格效果4一般線性模式原理•一般線性模式•兩個獨立的變異源–i：區組效果，表區組間的差異，強度為i-，為第i個區組平均數的離均差–j：獨變項效果，表獨變項水準間的差異，強度為j-（第j組平均數的離均差）–εij：誤差效果，為同一個水準的每一位受試者的得分變異ijijijY5拆解公式rblockAtotalSSSSSSSSrblockwSSSSSS2)(GijtotalYYSS2.)(GjAYYnSS2.)(jijwYYSSniijijGiblockNYpYYYpSS1222.)()()(2..)()(GijijblockwrYYYYSSSSSS6F考驗與摘要表222.ˆ1)(blockblockGiblockblockblocksnYYpdfSSMS222..ˆ)1)(1()(rGijijrrrspnYYYYdfSSMSrrAArAAAdfSSdfSSMSMSF22ˆˆ222.ˆ1)(AAGjAAAspYYndfSSMS變異來源SSdfMSF組間(A)SSAp-1SSA/dfAMSA/MSr組內SSwp(n-1)區組間(block)SSblock(n-1)SSblock/dfblock殘差(誤差)SSr(n-1)(p-1)SSr/dfr全體SStotalN-17控制效能量數•控制的相對效能（relativeefficiency;re）•re量數–組內變異數與殘差變異數的比值–意義：以獨立樣本設計來處理時，誤差變異量是有區組設計時的殘差變異量的幾倍–re值接近1時，表示區組效果小，控制效率甚低，當數值越大，表示獨立設計的誤差變異量的倍數越大，採用區組設計效果佳。•修正量數（Fisher，1935）–樣本數小時，相對效能量數無法充分反應獨立與相依設計的差異性rwMSMSre1331wwrrrwdfdfdfdfMSMSer8關聯強度與效果量•ω2量數•淨關聯強度（partialω2）•樣本導出式•f量數22222A2222.blockApppjjpjjblockA/ˆˆ/ˆˆ122122.)(1/ˆ12rApjjMSMSnpppnpFpFpAAblockA)1)(1()1)(1(ˆ2.2.2.ˆ1ˆˆblockAblockAAf9•η2量數•淨η2量數（排除區組項）•小樣本修正量數totalAASSSS2ˆblocktotalAblockASSSSSS2.ˆ)ˆ1(11~22pNNSSSStotalA多因子相依樣本變異數分析11•組間效果–A主要效果（A因子下p個平均數的變異）–B主要效果（B因子下q個平均數的變異）–AB交互效果（細格平均數的變異）•組內效果–區組效果（橫列平均數的變異）–殘差（隨機）效果表11.6二因子區組設計的資料形式（完全區組設計）A與B因子整合效果（A:j=1,…,p,B:k=1,…,q）區組設計i=1,…,na1b1a1b2..a2b1a2b2..apbq..nYBlock1Y111Y112..Y121Y122..Y1pq..1YBlock2Y211Y212..Y222Y222..Y2pq..2YBlock3Y311Y312..Y322Y322..Y3pq..3Y:::..::..:BlocknYn11Yn12..Yn22Yn22..Ynpq..nYpqY.11.Y12.Y..21.Y22.Y..pqY.GY區組效果A與B的組間效果殘差效果12rblockABBAwithinbetweenTotalSSSSSSSSSSSSSSSSnpqYnqYYYnqSSijkpjijkpjGjA21212..)()()(npqYnpYYYnpSSijkqkijkqkGkB21212..)()()(npqYnYnpqYnpYnqYnYSSijkpjqkijkijkqkijkpjijkpjqkijkAB211221212112)()()()(pjqkijkijknipjqkjkijkwnYYYYSS11221112.)(niijkijkniGiblocknpqYpqYYYpqSS12212..)()()(npqYpqYnYYSSSSSSijkniijkpjqkijknipjqkijkblockwresidual2121121112)()(SSr=SSA×block+SSB×block+SSAB×block13變異來源SSdfMSF組間SSbetweenpq-1A因子SSAp-1SSA/dfAMSA/MSA×bB因子SSBq-1SSB/dfBMSB/MSB×bA×BSSAB(p-1)(q-1)SSAB/dfABMSAB/MSAB×b組內SSwithinpq(n-1)區組間BlockSSblock(n-1)SSblock/dfblock殘差(誤差)SSr(n-1)(pq-1)SSr/dfrA×BlockSSA×block(n-1)(p-1)SSA×b/dfA×bB×BlockSSB×block(n-1)(q-1)SSB×b/dfB×bAB×BlockSSAB×block(n-1)(p-1)(q-1)SSAB×b/dfAB×b全體SStotalnpq-114二因子完全區組設計單純主要效果考驗摘要表變異來源SSdfMSFA因子效果：在b1條件下SSA|b1p-1SSA|b1/dfA|b1MSA|b1/MSw：：：：：在bq條件下SSA|bqp-1SSA|b3/dfA|b3MSA|b3/MSwB因子效果在a1條件下SSB|a1q-1SSB|a1/dfB|a1MSB|a1/MSw：：：：：在ap條件下SSB|apq-1SSB|a2/dfB|a2MSB|a2/MSw組內(誤差)SSwpq(n-1)SSw/dfw15環狀假設問題•球面性或環狀性–指不同水準的同一個區組的樣本，在依變項上的得分，兩兩配對相減所得差異的變異數必須相等（同質）–各水準變異數同質假設的延伸–不同的受試者在不同水準間配對或重複測量，其變動情形應具有一致性–球形假設的違反，會使F考驗產生正向性偏誤（positivelybiased）（Cohen,1988），提高犯第一類型錯誤的機率16環狀假設的檢驗•獨變項各水準下的受試者的組內變異，由區組變異與殘差變異所組成•同一個區組下的不同測量並非獨立，Yij與Yij’分別代表同一個區組在不同水準的分數，兩者共變期望式如下•各水準下的組內變異同質，那麼：，則各組間的共變數應為常數，稱為環狀同質現象。如果各組間相關不一致，表示各組積差（cross-product）並非同質•對於的檢驗，不僅檢驗了共變項，同時也是檢驗各水準變異同質問題•2222222222)2()2()()(jjjjijijijijYEEij2222)()()()())((jjjjjjjjjiijijijjiijijijYYEEEjiij22jiijYYjiijYYjiijYY