复习提问:1、古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2、计算古典概型的公式:那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?创设情境:往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。例如一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻;问题1:下图是卧室和书房地板的示意图,图中每一块方砖除颜色外完全相同,甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去,并随意停留在某块方砖上,问卧室在哪个房间里,甲壳虫停留在黑砖上的概率大?卧室书房问题:图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?(1)(2)⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与区域的位置无关。在转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的。⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关,与图形的大小无关。问题:甲获胜的概率与区域的位置有关吗?与图形的大小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的?(1)(2)(3)•定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability),简称几何概型。()APA构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)几何概型:几何概型的公式:几何概型的特点a)试验中所有可能出现的基本事件有无限个b)每个基本事件出现的可能性相等古典概型与几何概型的区别相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的;不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求基本事件有无限多个。古典概型的特点:a)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.b)每个基本事件出现的可能性相等.例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。一、长度型分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但0~60之间有无穷个时刻,不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件。例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率公式得P(A)=(60-50)/60=1/6“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6一、长度型练习1.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P(A)=1/3。3m1m1m2.公车5分钟一趟,求等待时间不超过3分钟的概率533.设有一个均匀的陀螺,在其圆周的一半上均匀的刻上区间[0,1]上的诸数字,另一半上均匀的刻上区间[1,3]的诸数字(所有的数字均按大小排列,且0与3重合)。旋转陀螺,求它停下时,其圆周上触及桌面的刻度为于[0.5,1.5]上的概率6.57.5()x送报人到达的时间()y父亲离开家的时间870yx二、面积型:例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?6.57.5()x送报人到达的时间()y父亲离开家的时间870yx解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系。(x,y)可以看成平面上的点,试验的全部结果所构成区域87,5.75.6|),(yxyx111S87,5.75.6,|),(yxxyyxA即图中的阴影部分,面积为:872121211AS这是个几何概型,所以87)(SSAPA面积为事件A:父亲在离开家前能拿到报纸所构成的区域练习:在区间[-2,2]上任意取两数a,b,求二次方程022baxx有实数根的概率二、面积型试验的全部结果所构成的区域为2222|),(baba事件A表示二次方程x2-ax+b2=0有实数根所构成的区域为0)2)(2(2222|),(042222|),(22bababababababaA即图中阴影部分所以P(A)=414422212SSA0ba例3有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.分析:细菌在这升水中的分布可以看作是随机的,取得0.1升水可作为事件的区域。解:取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则三、体积型练习:1.在棱长为3的正方体体内任意取一个点,求这个点到各面的距离大于棱长的概率31三、体积型四、角度型:例4、在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,则射线落在∠xOT内的概率是____610xyT60°A练习:1、在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率。2、在等腰直角△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率。22探究规律:公式(3):公式(2):公式(1):一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒。当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯。练习1(口答)练习21.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是()A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立概率模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型的问题,利用几何概型公式求解。解题方法小结:课堂小结•1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。•2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。•3.注意理解几何概型与古典概型的区别。•4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概型公式求解。•作业:137页A组1、2题