几何证明中常见的辅助线的方法

专题学习----几何证明中常见“添辅助线”方法1.连结目的:构造全等三角形或等腰三角形适用情况:图中已经存在两个点—A和B语言描述:连结AB注意点:双添---在图形上添虚线在证明过程中描述添法1.连结典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD1.连结AC,构造全等三角形.1.连结典例2:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.ACBD连结AC、AD构造全等三角形EM1.连结典例3:如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝∠ANCACBD连结AD构造全等三角形NM目的:构造直角三角形,得到距离相等适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN语言描述:过点X作XY⊥MN注意点:双添---在图形上添虚线在证明过程中描述添法2.角平分线上点向两边作垂线段2.角平分线上点向两边作垂线段典例4:如图,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.ACD过点D作DE⊥AB,垂足为E构造了全等的直角三角形且距离相等BE2.角平分线上点向两边作垂线段典例5:如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DE⊥AB,垂足为E构造了:全等的直角三角形且距离相等BE思考:若AB=15cm,则△BED的周长是多少?2.角平分线上点向两边作垂线段典例6:如图,四边形ABCD中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.ACD过点E作EF⊥BC，垂足为F.构造了:全等的直角三角形且距离相等BFE2.角平分线上点向两边作垂线段2.如图,四边形ABCD中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.解法2.延长BE和CD交于点F构造了:全等的直角三角形FACDBE2.角平分线上点向两边作垂线段典例4:如图,OC平分∠AOB,∠OEP+∠ODP=180o,求证:PD=PE.ACD过点P作PF⊥OA于F,PG⊥OB于G.构造了:全等的直角三角形且距离相等BFEPGO目的:构造全等三角形,将相关线段聚成三角形适用情况:图中已经存在一条线段MN和中线【或中点】语言描述:延长AD到E,使DE=AD,连接CE.注意点:双添---在图形上添虚线在证明过程中描述添法3.中线延长一倍例7.已知，如图AD是△ABC的中线，ABCDE)(21ACABAD求证：延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？倍长中线•例8、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线=中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。课外练习；【拓展题】1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED2．如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。A1BCD2343.如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=ABEF在AB上取点F使得AF=AD,连接EF截长补短mB'AC=42.35mBAB'=42.234.已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求证:AB=AC+CDADBCE12在AB上取点E使得AE=AC，连接DE截长F或延长AC至点F,使得CF=CD，连接DF补短5.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?Ⅴ.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB