几何证明的辅助线添加方法(一)

几何证明的辅助线添加方法（一）主讲教师：龚剑钧倍长中线一．两个基本图形EBACDBACDEFDBAC二．例题分析1．已知：△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是中线，求AD的取值范围.Ex：△ABC中，AD是中线，AB＝5，AD＝3，求AC的取值范围.EBACD解答与提示：（1）延长AD到E，使得DE＝AD，连结BE，易证：△ACD≌△EBD（SAS）．∴AC=BE=3在△ABE中，AB－BEAEAB＋BE∴5－32AD5＋3，∴1AD4ex：答案：由（1），易求得：1AC11.BACDEF2．已知：如图，△ABC中，D是BC中点，E是AC上一点，连结BE交AD于F，若AE＝EF，求证：AC＝BF.Ex：上题中，若AC＝BF，其它条件不变，求证：AE＝EF.证明同理（略）21BACDE3FM证明与提示：延长AD到M，使得DM＝AD，连结BM，由（1）知，易证：△ACD≌△MBD（SAS）∴AC＝BM∠M＝∠1∵AE＝EF∴∠1＝∠2∵∠2＝∠3∴∠M＝∠3∴BM＝BF∴BF＝AC.BACDEF3．已知：如图，△ABC中，延长AC边上的中线BE到G使得EG＝BE，延长AB边上的中线CD到F使得DF＝CD，连结AF、AG.（1）补全图形；（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论；（3）点F、A、G三点的位置关系如何？21GBACDEF答案与提示：（1）如图；（2）AF=AG证明：∵AE=CE,EG=BE,∠AEG＝∠CEB∴△ACD≌△MBD（SAS）∴AG＝BC同理：AF＝BC∴AF＝AG.（3）F、A、G共线.由（2）知：△ACD≌△MBD∴∠2∠＝ACB同理：∠1＝∠ABC∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝1800∴∠1＋∠BAC＋∠2=1800∴F、A、G共线.4．已知：如图，△ABC和△DEF中，AM、DN是中线且AB＝DE，AC＝DF，AM＝DN.求证：△ABC≌△DEF.（有两边及第三边上中线对应相等的两个三角形全等）BACMENDFBACMPNDEQF答案与提示：作倍长中线，易证：△ACM≌△PBM，∴AC＝PB同理：DF=EQ，∵AC＝DF∴BP＝EQ又有AP=2AM，DQ=2DN，∵AM=DN∴AP=DQ∴△ABP≌△DEQ(SSS)，∴BM=EN∴BC=EF∵AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)BACDEF5．已知：如图△ABC中，D是BC边中点，E、F分别是AB、AC上的点且ED⊥DF.求证：BE＋CFEF.BACDEFM证明与提示：延长ED到M连结CM、FM，易证△BDE≌△CDM(SAS)∴BE＝CM∵ED＝DM，ED⊥DF∴FE=FM∵在△CFM中，CM+CFFM∴BE＋CFEF.BACDE6．已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，E为CD中点且AE⊥BE，求证：AB＝AD+BC.BACDEF证明与提示：延长AE、BC交于点F，∵AD//BC∴∠D=∠FCE∠DAE=∠F∵ED=EC∴△ADE≌△FCE∴AE＝EFAD＝CF∵BE⊥AF∴BA＝BF∴AB＝AD+BC.7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略)对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△111ABC均为锐角三角形，AB=11AB，BC=11BC，∠C=∠1C，证明：△ABC≌△111ABC.(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B、1B，作BD⊥CA于D，1111BDCA于1D，则∠BDC=111BDC=90º，∵BC=11BC，∠C=∠1C∴△BCD≌△111BCD∴BD=11BD（2）归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。解：（1）又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴△ADB≌△A1D1B1∠A＝∠A1，又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1。∴△ABC≌△A1B1C1。(2）若△ABC与△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．则△ABC≌△A1B1C1．ACFPBE第14题图ABCDMN第1题巩固练习:1．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列添加的条件中，哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN的是()A．∠M=∠N;B．AB=CD;C．AM=CN;D．AM∥CN2．如图：已知ABC△中，ABAC，90BAC∠，直角EPF∠的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AECF②APECPF∠∠③EPF△是等腰直角三角形④EFAP⑤12ABCAEPFSS△四边形．当EPF∠在ABC△内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有______________．①②③⑤（第3题图）ABECFD第5题3．如图，已知12∠∠，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD∠∠；④BE∠∠．其中能使ABCAED△≌△的条件有（）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是.5．如图，RtABC△沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF△，下列结论中错误的是（）Ａ．ABCDEF△≌△Ｂ．90DEFＣ．ACDFＤ．ECCF6．△ABC中,AB=AC=BC,△DCB中,DC=DB,∠BDC=120,E、F分别为AB、AC上的点,∠EDF=60.求证:EF=BE+CF.ACBDEFPABCEDABCDE7．△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是()A.1AB29B.4AB24C.9AB19D.4AB198．如图ABC中,AD是BC上的中线,BE是ABD中AD边上的中线,若ABC的面积是24,则ABE的面积是________。9．如图,三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,求四边形PDCE的面积。1．C2。①②③⑤3。B4。30a5。D6．提示：延长AB到M，使得BM=CF，连结DM，易证：△DBM≌△DCF得到∠EDM=600=∠EDF，从而证△DME≌△DFE∴EF=EM=BE＋CF7．C8。69。307(提示：连结CP，设S△CPE＝x，S△CDP＝y，得312213yxyx∴307yx)