2-3无穷小,运算法则

一、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数当)x(或为时的无穷小.时为无穷小.)x(或1xx无穷小与无穷大,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.(3)必须指出自变量的趋势2、无穷小与函数极限的关系:证必要性,)(lim0Axfxx设,)()(Axfx令,0)(lim0xxx则有).()(xAxf充分性),()(xAxf设,)(0时的无穷小是当其中xxx))((lim)(lim00xAxfxxxx则)(lim0xAxx.A定理1),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小.意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题).(,)()(20xAxfxxf误差为式附近的近似表达在）给出了函数（(无穷小);特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxx二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.”也是错误的极限不存在“.)(lim0xfxx例如,函数当但所以时,不是无穷大!（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..,0,]1,0(1sin1)(这个函数不是无穷大时但当上无界在区间证明函数xxxxf三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小数；（2）无界变量未必是无穷大.小结极限运算法则一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.机动目录上页下页返回结束注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn例如).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.已证：设数列nx有界，又0limnny，则0limnnnyx.xxxxx1arctan,1sin,0,2时当例如都是无穷小推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、极限运算法则定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2推论3:若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明.提示:令则定理.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA因为数列是一种特殊的函数机动目录上页下页返回结束解)32(lim21xxx,0)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得例1.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx三、求极限方法举例解例2.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去非零因子法)例3.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.72147532lim2323xxxxx147532lim2324xxxxx147532lim2423xxxxx0小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当例4).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.例5.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin例6).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故例7.lim333axaxax求解axaxaxax3233)().(lim原式3233232)(limaaxxaxax．0三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.代入法求极限;b.消去非零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？)(xf)(xg)()(xgxf思考题解答没有极限．假设有极限，)()(xgxf)(xf有极限，由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg必有极限，与已知矛盾，故假设错误．.__________1sinlim520xxx、.__________33lim132xxx、一、填空题:.__________11lim231xxx、.__________)112)(11(lim32xxxx、.__________5)3)(2)(1(lim43nnnnn、.__________coslim6xxxeex、练习题.__________2324lim72240xxxxxx、.__________)12()23()32(lim8503020xxxx、二、求下列各极限:)21...41211(lim1nn、hxhxh220)(lim2、)1311(lim331xxx、38231lim4xxx、)(lim5xxxxx、1412lim6xxx、2lim71nmnmxxxxx、一、1、-5；2、3；3、2；4、51；5、0；6、0；7、21；8、30)23(.二、1、2；2、x2；3、-1；4、-2；5、21；6、0；7、nmnm.练习题答案