9 应力状态及应变状态分析

9应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。9.1应力状态的概念9.1.1一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。9.1.2通过单元体分析一点的应力状态如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。图9.1应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态9.1.3主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图9.1a）。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。①主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。②主应力主平面上的正应力称为主应力。③主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用1，2和3表示，即321（图9.1b）。④应力状态的类型若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。9.2应力状态的实例9.2.1直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时（图9.2a），围绕杆内任一点A点以纵横六个截面取出单元体（图9.2b），其平面图则表示在图9.2c中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为AP。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为0,0,321AP图9.2直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态围绕A点也可用与杆轴线成45的截面和纵向面截取单元体（图9.2d），前、后面为纵向面，面上无任何应力，而在单元体的外法线与杆轴线成45的斜面上既有正应力又有剪应力（见第二章）。因此，这样截取的单元体不是主单元体。由此可见，描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体，单元体各面上的应力也就不同，但它们均可表示同一点的应力状态。9.2.2圆轴扭转时，轴的表面上任一点A的应力状态围绕圆轴上A点（图9.3a）仍以纵横六个截面截取单元体（图9.3b）。单元体的左、右两侧面为横截面的一部分，正应力为零，而剪应力为tWT由剪应力互等定理，知在单元体的上、下两上，有。因为单元体的前面为圆轴的自由面，故单元体的前、后面上无任何应力。单元体面受力如图9.3（c）所示。由此可见，圆轴受扭时，A点的应力状态为纯剪切应力状态。进一步的分析表明（见本章例9.1）若围绕着A点沿与轴线成45的截面截取一单元体（图9.3d），则其45斜截面上的剪应力皆为零。在外法线与轴线成45的截面上，有压应力，其值为。在外法线与轴线成45的截面上有拉应力，其值为。考虑到前、后面两侧面无任何应力，故图9.3（d）所示的单元体为主单元体。其主应力分别为321,0,可见，纯剪切应力状态为二向应力状态。图9.3受扭圆轴表面点A的应力状态9.2.3圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态当圆筒形容器（图9.4a）的壁厚t远小于它的直径D时（例如，20Dt），称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒承受的内压力为p，则沿圆筒轴线方向作用于筒底的总压力为P（图9.4b），且42DpP薄壁圆筒的横截面积为Dt，因此圆筒横截面上的正应力为tpDDtDpAP442（9.1）用相距为l的两个横截面和通过直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分（图9.4c）。设圆筒纵向截面上的内力为N，正应力为，则tlN取圆筒内壁上的微面积2lDddA。内压p在微面积上的压力为2/plDd。它在y方向的投影为sin2dDpl。通过积分求出上述投影的总和为plDdDplsin2π0积分结果表明：截取部分在纵向平面上的投影面积lD与p的乘积，就等于内压力在y方向投影的合力。考虑截取部分在y方向的平衡（图9.4d）图9.4薄壁圆筒承受内压时，壁上任一点A的应力状态分析02,0plDNy2plDN将N代入表达式中，得tpDtlN2（9.2）从公式（9.1）和（9.2）看出，纵向截面上的应力是横截面上应力的两倍。由于内压力是轴对称载荷，所以在纵向截面上没有剪应力。又由剪应力互等定理，知在横截面上也没有剪应力。围绕薄壁圆筒任一点A，沿纵、横截面截取的单元体为主平面。此外，在单元体ABCD面上，有作用于内壁的内压力p或作用于外壁的大气压力，它们都远小于和，可以认为等于零（见式9.1和9.2，考虑到Dt，易得上述结论）。由此可见，A点的应力状态为二向应力状态，其三个主应力分别为9.2.4在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态围绕着车轮与钢轨接触点（图9.5a），以垂直和平行于压力P的平面截取单元体，如图9.5（b）所示。在车轮与钢轨的接触面上，有接触应力3。由于3的作用，单元体将向四周膨胀，于是引起周围材料对它的约束压应力1和2（理论计算表明，周围材料对单元体的约束应力的绝对值小于由P引起的应力绝对值3，因为是压应力，故用1和2表示）。所取单元体的三个相互垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不等于零，因此，A点的应力状态为三向应力状态。图9.5车轮钢轨接触点A的应力状态9.3二向应力状态分析——解析法9.3.1二向应力状态下斜截面上的应力二向应力状态分析，就是在二向应力状态下，通过一点的某些截面上的应力，确定通过这一点的其他截面上的应力，从而进一步确定该点的主平面、主应力和最大剪应力。从构件内某点截取的单元体如图9.6（a）所示。单元体前、后两个面上无任何应力，故前、后两个面为主平面，且这个面上的主应力为零，所以，它是二向应力状态。在图9.6（a）所示的单元体的各面上，设应力分量x、y、xy和yx皆为已知。关于应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；剪应力以对单元体内任意点的矩为顺时针时，规定为正，反之为负。现研究单元体任意斜截面ef上的应力（图9.6b）。该截面外法线n与x轴的夹角为。且规定：由x轴转到外法线n为逆时针时，则为正。以斜截面ef把单元体假想截开，考虑任一部分的平衡，根据平衡方程0nF和0tF，则coscossincosxxyαdAdAdA0sinsincossinyyxdAdAsincoscoscosxxyαdAdAdA0sinsincossinyxydAdA考虑到剪应力互等定理，xy与yx在数值上相等，以xy代替yx，简化以上平衡方程最后得出：2sin2cos22xyyxyxα（9.3）图9.6二向应力状态分析2cos2sin2xyyxα（9.4）上式表明：α和α都是的函数，即任意斜截面上的正应力α和剪应力α随截面方位的改变而变化。9.3.2主应力及主平面的方位9.3.2.1正应力的极值及其所在平面的方位为求正应力的极值，可将式（9.3）对取导数，得2ddα2cos2sin2xyyx若0时，导数0αdd，则在0所确定的截面上，正应力为极值。以0代入上式，并令其等于零02cos2sin20xy0yx得yxxy022tan（9.5）式（9.5）有两个解：0和900。因此，由式（9.5）可以求出相差90的两个角度0，在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。在这两个互相垂直的平面中，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。从式（9.5）求出02sin和02cos，代入式（9.3），求得最大或最小正应力为2xy2yxyxminmax22（9.6）至于0确定的两个平面中哪一个对应着最大正应力，可按下述方法确定。若x为两个正应力中代数值较大的一个，则式（9.5）确定的两个角度0和900，绝对值较小的一个对应着最大正应力max所在的平面；反之，绝对值较大的一个对应着最大正应力max所在的平面。此结论可由二向应力状态分析的图解法得到验证。9.3.2.2正应力的极值就是主应力现进一步讨论在正应力取得极值的两个互相垂直的平面上剪应力的情况。为此，将0代入式（9.4），求出该面上的剪应力0α，并与0dd0α的表达式比较，得0α为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。9.3.3剪应力的极值及其所在平面9.3.3.1剪应力的极值及其所在平面的方位为了求得剪应力的极值及其所在平面的方位，将式（9.4）对取导数2sin22cosddxyyxα若1时，导数0ddα，则在1所确定的截面上，剪应力取得极值。以1代入上式且令其等于零，得02sin22cos1xy1yx由此求得xyyx122tan（9.7）由式（9.7）也可以解出两个角度值1和901，它们相差也为90，从而可以确定两个相互垂直的平面，在这两个平面上分别作用着最大或最小剪应力。由式（9.7）解出12sin和12cos，代入式（9.4），求得剪应力的最大值和最小值是2xy2yxminmax2（9.8）与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值于所在两个平面方位的对应关系是：若0xy，则绝对值较小的1对应最大剪应力所在的平面。9.3.3.2主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系比较式（9.5）和（9.7），可以得到102ctan12tan所以有4,2220101即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为45。【例题9.1】圆轴受扭如例9.1（a）图所示，试分析轴表面任一点的应力状态，并讨论试件受扭时的破坏现象。解：根据9.2②的讨论，沿纵横截面截取的单元体为纯剪应力状态(图（b）)，单元体各面上的应力为tWTyxxyyx,0代入式（9.3）和（9.4），即可得到纯剪切应力状态任意斜截面上的应力：2sin2sinxyα2cos2cosxyα将xyyx,0代入式（9.6）和式（9.5），即可得到主应力的大小和主平面的方位：