第二节 数列的极限

二、收敛数列的性质三、两个数列极限存在定理一、数列极限的定义§2.1机动目录上页下页返回结束数列的极限四、一个重要极限五、数列极限的四则运算数学语言描述:r2.1.1数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),,0,N正整数当nN时,SAn用其内接正n边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N机动目录上页下页返回结束数列极限的定义并未给出求极限的方法，但我们可以用定义来验证极限的存在。因极限的精确定义不作要求，故下面和前页经定义验证的常用结果，可作为已知结论来应用。1(1)1lim1.nnnn、lim.nCC2、3lim0,1.nnqq、其中lim1,0.nnaa4、其中23ba22abnabax2.1.2收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式机动目录上页下页返回结束例3.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束12*********************,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*********************NNx机动目录上页下页返回结束由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!则原数列一定发散.说明:2.1.3数列极限存在定理azynnnnlimlim)2(1.夹逼定理),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当2Nn时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N15例4).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnn1lim1lim22nnnnnnn又由夹逼性知.1)12111(lim222nnnnn例5求nnnnnn5432lim解545545432nnnnnnnn55432limnnnnnn555432nnnnnnn由夹逼性知2.单调有界数列必有极限为极限以发生，故必有数列能，因而第一种情况不可，，使对一切上界，即存在常数，如图，若递增数列有一定点）无限趋近于，（）移向无穷远，或者，（种可能，或者点列向右移动，这时只有两的增大而轴上对应的随着递增数列为例，它在数调显然成立的，不妨以单这个结论从几何上看是axMxnManxnxnnnnn21211xanx1x2xM18333().limnnnxnx证明数列重根式的极限存在并求例6证的单调性先证nx)1(nnxxn3,1332x13xkkxxkn1时，假设3112kkxxkn时，则13kkxx.单调递增所以nx19333().limnnnxnx证明数列重根式的极限存在并求例6,331x,3kx假定kkxx3133,3;有上界nx.lim存在nnx;单调有界故nx的有界性再证nx)2(,,2,1),(21,0,0110nxaxxxannnnx证明数列收敛，其中并求其极限。证明：因为0)(21axn，1212nnxaax所以例7),2,1(222)(211112111naxxaxaxxaxxnnnnnnnnxa所以数列有下界或),min(0ax02))((22)()(212221nnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxxaxxx所以数列nx单调递减，由单调有界数列必收敛得数列nx收敛.Axnnlim设0axn0A由，所以)(2111nnnxaxx两边取极限得)(21AaAA，解方程得aA（负值舍去）。2.1.4一个重要极限1lim(1)nnen2.1.5数列极限的四则运算lim()nnnabABlim()nnnabABlimnnnaAbB0B内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限机动目录上页下页返回结束3.数列极限存在定理:夹逼定理;单调有界必收敛定理4.一个重要极限1lim(1)nnen思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim机动目录上页下页返回结束作业P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法