定积分 第三节 定积分的换元法和分部积分法

第三节上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、分部积分法三、小结第三节一、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1),],[)(1Ct2)在],[上;)(,)(ba()t()t证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则)()(aFbF)]([F)]([F()t()t()t()t()t则说明:1)当,即区间换为，时],[定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即))((tx令xxfbad)(或配元()td()t配元不换限()t()t()t()t()t()t.解换元：，；换限：，，，，tsinxtdtdxcos0x0t1x2ttdttdxxcossin11202102202costdt3.例题dxx1021例1计算dtt202cos12120202212cos21tdtdt2011sin2224tt注①第一步是采用的换元（不定积分第二类换元法），换元的同时必须换限。在计算dtt202cos时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，所以没有换限.41102dxx②：由定积分的几何意义知，该积分值等于由，直线所围图形的面积（见右图）.21xy1,0,0xxy41面积值为圆面积的.21xy-11xyo例2计算.dxxx204cos2sin解法1.dxxx204cos2sindxxx205cossin2换限：，0x1t2x0t，换元：，xtcosxdxdtsin原式＝.dtt015206111263t解法2.dxxx204cos2sindxxx205cossin25202coscosxdx260112cos63x由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量例4计算解.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd342arcsin(ln)eex.6例5.计算解:令21,tx则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x3.t∴原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt131;t且例6.证:(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)((2)若0d)(aaxxf则xxfad)(0xxfad)(0ttfad)(0xxfad)(0xxfxfad])()([0时)()(xfxf时)()(xfxf偶倍奇零tx令奇函数例7计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积证明例8若f(x)在[0,1]上连续,证明(2)00)(sin2)(sindxxfdxxxf(1)2020)(cos)(sindxxfdxxf证明(1)令tx2,则dttfdxxf)]2[sin()(sin02202020)(cos)]2[sin(dxxfdttfdttfdxxf)]2[sin()(sin02202020)(cos)]2[sin(dxxfdttf(2)令xt因为例8若f(x)在[0,1]上连续,证明证明(2)00)(sin2)(sindxxfdxxxf(1)2020)(cos)(sindxxfdxxf00)][sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()][sin()(dttftdttft00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin)(sindxxxfdxxf所以00)(sin2)(sindxxfdxxxf00)][sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()][sin()(dttftdttft例9计算.dxxxx02cos1sin解积分区间为，被积函数为型，利用定积分公式⑥得,0xxfsindxxxdxxxx0202cos1sin2cos1sinxdxcoscos112024cosarctan220x例11设求,0,,0,11xexxxfxdxxf201解dttfxtdxxf112011dxxfdxxf1001dxxdxex10011110011lnxex2ln11e2解,01,,01,11111xexxxfx1,,1,11xexxxdxxfdxxfdxxf211020111dxxdxex211011dxxxdex21101112ln11ln21101exex设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导,vuvuuv(),bbaauvdxuv,bbbaaauvuvdxuvdx.bbbaaaudvuvvdu二、分部积分公式例1计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1212201x.12312则解例2计算.exdxx1lneexdxxdxx121ln21lneedxxxxx0212121ln21)1(4141212122exee例3计算.dxx402sin解dttttxtxtdtdxxt202sin22,4;0,02,dxx402sintdtcos220dtttt2020cos2cos22sin220t例4计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx1011211112xx10)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35例5设，求.dtttxfx21sindxxxf10解xxxxxxf222sin22sin221010xdxfdxxxfxdfxxfx10210222dxxfxf102221dxxxx2102sin22dxxx102sin11cos21cos21sin211022102xdxx例6证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxvdxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossin21sinx0dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([三、小结定积分的分部积分公式.bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题1指出求2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解法.解令,sectx,4332:t,sectantdttdx2221xxdxtdtttttansectansec14332dt4332.12思考题1解答计算中第二步是错误的.txsec,43,32t,0tant.tantan12ttx正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.12思考题2设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.思考题2解答10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2一、填空题：1、3)3sin(dxx___________________；2、03)sin1(d________________；3、2022dxx_____________；4、2121221)(arcsindxxx___________；5、55242312sindxxxxx________________________..练习题1二、计算下列定积分：1、203cossind；2、31221xxdx；3、14311xdx；4、223coscosdxxx；5、02cos1dxx；6、224cos4dx；7、112322)11(dxxxxx；8、203},max{dxxx；9、20dxxx（为参数）.三、设时，当时，当0,110,11)(xexxxfx求20)1(dxxf.四、设baxf,)(在上连续，证明babadxxbafdxxf)()(.五、证明：101`0)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：aaadxxfxfdxxf0)]()(