35双曲线的几何性质

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练掌握双曲线的简单的几何性质．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．掌握直线与双曲线的位置关系．2.3.2双曲线的简单几何性质【课标要求】【核心扫描】双曲线的几何性质的理解和应用．(重点)与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点)经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力．1．2．3．1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练双曲线的几何性质自学导引标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练性质焦点______________________________________焦距_________范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点______________________________________轴长实轴长＝___，虚轴长＝___离心率e＝___(e＞1)渐近线________________续表F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)|F1F2|＝2cA1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)2a2bcaxa±yb＝0xb±ya＝0课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率．提示e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋b2a2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点，双曲线只有两个顶点，相应的线段叫实轴，实轴长为2a.而虚轴长为2b，且a2＋b2＝c2.特别地当2a＝2b时的双曲线叫等轴双曲线，方程为x2－y2＝a2或y2－x2＝a2.名师点睛1．双曲线几何性质的理解(1)范围：以x2a2－y2b2＝1(a0，b0)为例，由于x2a2＝1＋y2b2≥1，即x2≥a2，∴|x|≥a，即双曲线位于x≤－a和x≥a所表示的区域内．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(3)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca叫双曲线的离心率，由于ca0，∴e1，且e越大，双曲线的“张口”越大．特别地，等轴双曲线的离心率e＝2为定值．(4)①已知双曲线方程求渐近线方程，只需将方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右边的“1”换成“0”即可，即由x2a2－y2b2＝0得出渐近线方程是xa±yb＝0，即y＝±bax.类似地，对于方程y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则由y2a2－x2b2＝0得渐近线方程是y＝±abx.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.①当b2－a2k2＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．②当b2－a2k2≠0时，Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；②与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l：y＝kx＋m，①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．②课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练Δ0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．(2)弦长公式：斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路探索]可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质．【例1】解把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程y242－x232＝1，由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，c＝a2＋b2＝5.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值．焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率e＝ca＝54；顶点坐标为(0，－4)，(0，4)；渐近线方程为y＝±43x.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．【变式1】解将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程y24－x212＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，∴c＝a2＋b2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43.焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0，4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0，2)，渐近线方程为y＝±33x，离心率e＝2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[思路探索]可设出双曲线的标准方程，依题意建立待定参数的方程或方程组求解．题型二根据双曲线的几何性质求标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线的渐近线的方程为2x±3y＝0且经过P(6，2)；(2)经过点P(3，－2)，离心率e＝52.解(1)法一设双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．∵双曲线过点P(6，2)，且点P在直线y＝23x的上方，∴m0，n0，即焦点在y轴上，又渐近线斜率k＝±23，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∴6m－4n＝1，－n－m＝23，解得m＝－3，n＝－43.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.法二由于双曲线的渐近线方程是y＝±23x，所以可设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(6，2)．∴69－44＝λ，λ＝－13.∴故所求双曲线方程为y243－x23＝1.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(2)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由e＝52得，c2a2＝54①又点P(3，－2)在双曲线上，∴9a2－2b2＝1②又a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝1，b2＝14，若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由c2a2＝54和2a2－9b2＝1及a2＋b2＝c2，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．首先，由已知判断焦点的位置，设出双曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求得．如本题中已知渐近线方程ax＋by＝0，可设所求双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常简捷．可得b2＝－172(舍去)．所以双曲线的焦点只能在x轴上，其方程为x2－4y2＝1.即x2－y214＝1.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为y252－x2122＝1.(2)法一∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练法二由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[例3]已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．[思路点拨]设F1c，0，将焦点F1的横坐标代入方程→求出P的纵坐标及|PF1|→由∠PF2Q＝90°建立a，b，c的关系→求出离心率课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[精解详析]设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝22c.由双曲线的定义得22c－2c＝2a.∴e＝ca＝222－2＝1＋2.所以所求双曲线的离心率为1＋2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[一点通](1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练训练65•5、双曲线定义的应用•8、中位线定理的应用课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练审题指导本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量知识及方程思想的应用．题型三直线与双曲线的位置关系【例3】(12分)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[规范解答](1)将y＝－x＋1代入双曲线方程x2a2－y2＝1(a0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.2分依题意1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a2（1－a2）0，∴0a2且a≠1.4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，因为PA→＝512PB→，所以(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1).6分由此得x1＝512x2.8分课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【题后反思】直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.10分消去x2得－2a21－a2＝28960.由a0，解得a＝1713.12分课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式3】直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．解设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋mx23－y22＝1得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．∵|AB|＝4，∴