第05讲-应力强度因子的计算

1ShanghaiUniversity断裂力学FractureMechanics断裂力学第四讲郭战胜[e-mail]办公地点：延长校区力学所317室平时答疑：每周一：5-6节晚修答疑:每周一：18：00-20：30地点：HE108或HE104b2应力强度因子计算预备知识:映射与广泛柯西积分公式）（Sz一.由已知解析函数经实轴或圆弧映射（反射）而得新的解析函数1.实轴映射)(zf解析Sz，求)(zf也解析）（Sz定义)()(zfzfSz设),(),()(yxiqyxpzf定义),(),(),(),()()(11yxiqyxpyxiqyxpzfzfSz用1p，1q的柯西黎曼条件，易证)(zf也解析柯西黎曼条件ReImImZZZyxImReReZZZyx32.单位圆上的映射/1ireier1/1若),(),()(iqpf，可导出：)/1()1()(fff，解析解析41.内内映射1)(kkkcZ2.外内映射0)(kkckcZ例53.外外映射4.内外映射kkkcZ1)(0/)(kkcRRZ6)(/在内不为零，上，本身可以是奇异的，它对应平面上的角点)(Zk待定kknkieAZ1)()((1950,Darwin)5.76.7.))(()(22mmiaZ2)11(1ln)(HZ8二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式—F(t)F(z)L——闭曲线，方向逆时针S——内有限域，S——无限域1.内域柯西公式)(zF在S内解析，在LS上连续S0S)()(21zzzFdtzttFiC92.外域柯西公式)(zF在内解析，(包括)－Szz0)(zFS0S)()(21zzzFdtzttFiC3.含极点的广泛内域柯西公式)(zF在内处为，有n阶极点，除此以外，在内解析SazS)()()()()(001zFzgzFazAzFnsss则SS)()()()(21zzzgzFdtzttgtFiC时，则104.外域广泛柯西积分公式)(zF在内解析，处，，则在处展成级数有Sz0)(zF解析在主部SzhnnzazazazazaazF221),(2210//)(则S)(S)]()([)(21zzhzzhzFdtzttFiC1112Muskhelisvili穆什海里什维利《数学弹性力学的几个基本问题》Nikoloz(Niko)Muskhelishvili(Georgian格鲁吉亚:February161891-July16,1976)wasanotableGeorgianandSovietmathematician,oneofthefoundersandfirstPresident(1941-1972)oftheGeorgianSSRAcademyofSciences(nowGeorgianAcademyofSciences)(then),DoctorofPhysicalandMathematicalSciences(1934),Professor(1922).HeisoftenreferredbytheRussianversionofhisname,NikolaiIvanovichMuskhelisvili.是搞数学弹性理论的人必读的书。中文版是依据1953年出版的俄文第四版翻译的。1977年，Springer出版社根据当时最新的俄文修订版，推出了英文本：Muskhelishvili:SomeProblemsoftheMathematicalTheoryofElasticity。中文本自五十年代出版后，再没有修订过13In1914hegraduatedfromtheSt.PetersburgUniversity(Russia).In1917-1920MuskhelishviliwasAssistantProfessorofthisUniversity,in1920-1922-AssociateProfessoroftheTbilisiStateUniversity(TSU),in1922-1976-aProfessorofTSU,in1941-1972-firstPresidentoftheGeorgianSSRAcademyofSciences,in1972-1976-HonoraryPresidentofGAS.In1939MuskhelishviliwaselectedasAcademician(FullMember)oftheAcademyofSciencesoftheUSSR(nowtheRussianAcademyofScience.Muskhelishviliwasauthorofoutstandingscientificworksinthefieldsofsingularintegralequations,mathematicalphysics,theoryofelasticity,etc.Muskhelisvili14由应力强度因子表达的脆性断裂准则为CKK11进行断裂安全分析时1）需要计算构件的值——由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式决定；1K2）测定材料的。CK1用实验测定材料的时，必须首先确定试件的标定式。CK1因此，计算各种构件的应力强度因子，是线弹性断裂力学的一项重要任务。15计算值的几种方法K1.解析法:复变函数法、积分变换；2.数值解法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值解法。工程中——广泛采用有限元法，而且随着计算机技术的发展，能够计算越来越复杂的问题。其它求应力强度因子的方法，及工程估算和实验方法可查阅有关文献。对于一般的二维裂纹问题，可以用Kolosov－Muakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。对于某些特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数和简化为确定一个复变函数，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。Z解析法164,0Uxy,zxiyzxiyxzziyzz224zz2240Uzz记：，则Kolosov－Muakhelishvili应力函数法17应力函数是实函数。22zz242zzzz12zzzzz12zzzzzz积分之：待定函数两两共轭。Kolosov－Muakhelishvili应力函数法18Rezzz这就是著名的古萨应力函数，其中，，为解析函数。zz所以求解双调和函数的问题，归结为求解解析函数，的问题，称之为复应力函数。zzxKolosov－Muakhelishvili应力函数法19应力的复变函数表示取应力组合：2222242xyUxyUzzzz4Rexyzzz22222222224yxxyiiUxyxyUiUxyz22yxxyizzz注意到，作第二个应力组合：Kolosov－Muakhelishvili应力函数法20位移的复变函数表示2GuivzzzzH34,PlaneStrain3,PlaneStress1HKolosov－Muakhelishvili应力函数法其他详见教材58-60页21I-II复合型裂纹0022limIIIzzKKiKzzzKolosov－Muakhelishvili应力函数法要确定应力强度因子，就需要确定一个解析函数。对于复杂结构或载荷条件，通常使用复变函数的保角映射原理。将平面内的几何图形，通过映射到平面中，简单的几何图形，从而使求解过程大为简化。IIIKKiK则根据应力场计算公式，可以求得K的表达式22iyxz)(wzi范例1教材58-6023例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中力作用在右上表面，求应力强度因子iQPFbz解：取映射函数)1(2)(awz……24解析法求解I-II复合型裂纹的应力强度因子复变数：iyxziyxz取复变解析函数：()xzpiq11()zpiq取应力函数2()()()()zzzxzzxzRe[()()]zzxz或满足双调和方程24范例125分析第一应力不变量22'224Re[()]xyxzxy对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：'ReImxIIZyZ'ReImyIIZyZ||0||0||0()2Re2Re2IxyIIKZⅡ型：'2ImRexIIIIZyZ'ReyIIyZ000()|2Im|2Im|2xyKZⅡⅡⅡ2526Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量000()|2Re|2Im|22xyKKⅠⅡⅠⅡ012Re[()]|2KiKⅠⅡ取复数形式的应力强度因子KKiKⅠⅡ00()|2Re()|2xyKⅠⅡ()4Re[()]xyxZ又0lim22()KxZ2627若采用22lim()zaZaKzaxz选择满足具体问题的应力边界条件()xz1144()()()()fFZFZZFZZFZ---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.2728三种基本裂纹应力强度因子的计算一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算0lim2KZⅠⅠ计算的基本公式K1.在“无限大”平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,距离处各作用一对集中力P2axbReImxZyZⅠⅠReImyZyZⅠⅠRexyyZⅠ选取复变解析函数：2222222()PzabZzbza29边界条件：,0xyxyz,za除去处裂纹自由表面上zb0,0yxy如切出坐标系内的第一象限的薄平板，在轴所在截面上内力总和为Pxyx以新坐标表示22222()[()](2)PaabZaba2202lim2()()PaKZabⅠ302.在无限大平板中,具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,在距离的范围内受均布载荷q作用2a1xa利用叠加原理集中力qdx222()qadKdxaxⅠ2202()aqaKdxaxⅠ令22sincosxaaxacosdxad31111sin()10cos22sin()cosaaaaaaaKqdqaⅠ当整个表面受均布载荷时12sin()aaaKqqaⅠ3.受