四川大学线性代数教材第一章第二节

第二节行化简与阶梯形矩阵解的存在性与唯一性阶梯形矩阵与行最简形至少包含一个非零元素的行或者列，称为矩阵的非零行或者非零列。非零行中最左边的非零元素，称为该行的非零首元或者首项元素。若矩阵满足下列两条性质，就称该矩阵为阶梯矩阵：1.所有非零行都在元素全部为零的行之上；2.每一行非零首元所在的列，都在上一行非零首元所在的列的右边，即非零首元所在的列数随着行数的增大而增大。0000000000000000221121rnrjnjnjnsaaaaaaAr。行全为的后0,,0,,,212121rsAjjjaaarrjjjr则称为行最简形矩阵或Jordan(约当)阶梯型矩阵。3.非零行中的非零首元均为1；4.每个非零首元1所在列的其余元素均为0。如果一个阶梯矩阵还满足以下两个条件：300920511C210010102001D0000150002101311A000000120002041B都是阶梯矩阵，、、、DCBA是行最简形矩阵。其中D(证明略)命题任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩阵，更进一步可化为行最简形。注意：使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。思考：为什么行最简形是唯一的？矩阵的阶梯形中，非零首元对应的位置称为主元位置，位于主元位置的元素称为主元，主元所在列称为主元列。例化下列矩阵为阶梯形，行最简形，并求主元列。28810635212111434261300解:31rr28810636130011434252121122rr2881063613001010052121143rr132700613001010052121233rr13270031000101005212124)7(rr6200031000101005212100000310001010052121342rr0000031000101003002121rr31)2(rr)1(1r矩阵的主元列分别是第一、三、四列。容易观察到，不同的初等行变换化出的阶梯形不同，但是主元位置是相同的，且行最简形是唯一的。行最简形阶梯矩阵用初等行变换化矩阵为阶梯形(行最简形)的一般步骤：1.从矩阵最左边的非零列开始，主元位置在该列的第一行；若该位置元素为零，则用对换变换将其变为非零元，就得到一主元。2.用初等行变换中的倍加变换将主元下方的元化为零。3.盖住或忽略含有主元位置的行和它上面的所有行。对余下的子矩阵应用第一步到第三步，就可以得到阶梯形矩阵。4.若进一步要得到行最简形，在进行第二步时，要运用倍加变换将主元列中主元以外的所有元化为零，并用数乘变换将主元化为1.用化矩阵为阶梯形的方法求解线性方程组：首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵(或化为行最简形)例求解线性方程组解:4422331322115432154352152154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx442211331100130022110011111111111111021100352200331100331100111111021100310000310000000000111111021100310000000000000000000000000000310000601100400011写出行最简形对应的方程组36454321xxxxx)(广矩阵是行等价的，方程组与原方程组的增由于)(。方程组与原方程组同解因此，)(方程组可以解出于是由)(36454321xxxxx方程组有无穷多解，，设lxkx42,则方程组有)3,,6,,4(),,,,(54321llkkxxxxx通解00000000000031000060110040001136454321xxxxx变量与阶梯矩阵的主元位置对应，称为基本变量。在行最简形中，这三个变量分别只在一个方程中出现，可以将其解出来，显式表示。531,,xxx方程组余下的变量可任意取值，因此称为自由变量。42,xx注意此例中，自由变量的出现是因为线性方程组的主元列数(即基本变量的个数)少于总未知量个数。主元列数为3列，即基本变量为3个，对应于3个方程，而总的未知量个数为5，故剩下的2个变量就成为了自由变量。方程组有解时，自由变量个数=总未知量个数—主元列数首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵(或化为行最简形)例求解线性方程组解:4422331222115432154352152154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx442211331100120022110011111111000000300000310000021100111111由此阶梯矩阵可写出与原方程组同解的方程组303021554354321xxxxxxxxx矛盾方程因此原方程组无解。000000300000310000021100111111矛盾方程的出现实际上是因为方程组的系数矩阵的主元列数少于增广矩阵的主元列数。定理1一个线性方程组有解当且仅当增广矩阵的最右边一列不为主元列，即增广矩阵的阶梯形式没有如下形式的行：b000。其中0b在有解时，如果主元列数等于未知量个数，则方程组有唯一解；如果主元列数少于未知量个数，则方程组有无穷多解。定理2一个线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列。推论1齐次线性方程组一定有解。推论2常数项全部为零的线性方程组称为齐次线性方程组，反之，则称为非齐次线性方程组。；列数等于未知量个数其系数矩阵的主元零解的齐次线性方程组只有nnm；列数小于未知量个数其系数矩阵的主元零解的齐次线性方程组有非nnm零解。的齐次线性方程组有非，则如果nmnm000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa使用初等行变换求解线性方程组的步骤1.写出线性方程组的增广矩阵。2.用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，用主元列数判断方程组是否有解。若无解，则停止；否则，进行下一步。3.继续进行初等行变换化简，得到行最简形。4.写出行最简形矩阵对应的线性方程组。5.改写第四步得到的每个非零方程，将其中的基本变量用显式表示出来，得到方程组的解。000001108971练习1设线性方程组的增广矩阵可经过一系列的初等行变换化为如下阶梯矩阵求解该线性方程组。解：由于系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列，所以方程组有解。又由于主元列数是2，未知量个数是3，即主元列数少于未知量个数，所以方程组有无穷多解。写出行最简形对应的方程组0823231xxxx，，自由变量是基本变量是321,xxx323128xxxx解出，则方程组的通解是设kx3),,28(),,(321kkkxxx再将增广矩阵的阶梯形进一步化为行最简形：00000110897100000110820101103520121a练习2设一个线性方程组的增广矩阵为解:无穷多解。一解、取何值时，方程组有唯若方程组有解，请讨论该方程组是否会无解a)2(?)1(有解。线性方程组，因此一定，可知此方程组是齐次全为由于增广矩阵最后一列0)1(01103520121a013001100121a020001100121a阶梯形：接下来将增广矩阵化为)2(因此只有零解。，与未知量个数相等，主元列数等于系数矩阵的时，该齐次线性方程组即当32,02aa此有无穷多解。，小于未知量个数，因主元列数等于系数矩阵的时，该齐次线性方程组即而当22,02aa有无穷多解或无解。无解有唯一解有无穷多解)(;)(;)(;)(DCBA答：练习3如果一个非齐次线性方程组，其方程的个数少于未知量的个数，则该非齐次线性方程组有无穷多解或无解。选,)(D