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第四章图形的认识与三角形第1课时线段、角、相交线与平行线1．(2013·义乌)如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝55°，则∠2＝(A)A．55°B．35°C．125°D．65°2．(2013·湖州)如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(C)A．30°B．60°C．120°D．150°3．(2012·丽水)如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是(C)A．120°B．135°C．150°D．160°4．(2011·绍兴)如图，AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°，则∠BED的度数为(D)A．17°B．34°C．56°D．68°5．(2012·温州)下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则a1”是假命题的反例是(A)A．a＝－2B．a＝－1C．a＝1D．a＝26．(2011·衢州)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)A．1B．2C．3D．47．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝15.5度．8．(2013·义乌)把角度化为度、分的形式，则20.5°＝20°30′.9．(2013·温州)如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3＝110度．10．(2011·湖州)如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝60°.11．(2012·义乌)如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为50°.考点一线段、射线、直线1．线段的基本性质所有连结两点的线中，线段最短．2．直线的基本性质经过两点有且只有一条直线．3．直线、射线、线段的区别与联系考点二角与角的计算1．角的基本概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角，大于0°小于直角的角叫做锐角．2．角的计算与换算1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1°＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质(1)互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.(2)互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角．(3)性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．4．角平分线(1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．(2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.考点三相交线1．邻补角、对顶角及其性质(1)如图所示，直线a，b相交，形成四个角．图中的邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中的对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．2．垂线及其性质(1)垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．(2)性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．温馨提示垂线是直线，垂线段是指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个有单位的量.3．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．考点四平行线1．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．2．平行公理经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．平行线的性质(1)如果两条直线平行，那么同位角相等；(2)如果两条直线平行，那么内错角相等；(3)如果两条直线平行，那么同旁内角互补．4．平行线的判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫做平行线；(2)同位角相等，两直线平行；(3)内错角相等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行．温馨提示除上述平行线判定方法外，还有“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”及“平行于同一条直线的两条直线平行”.考点五定义、命题、定理、公理1．定义：能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．2．命题：判断一件事情的语句．(1)命题由题设和结论两部分组成．(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．温馨提示对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.考点六证明1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．温馨提示命题证明应根据证明的步骤一步步进行；图形证明需要分析好已知条件，无需再画图重新写已知、求证，用学过的知识，经过严密的推理，推导出结论.3．反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.考点一线段、角、相交线的有关计算(2013·大连)如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD等于(C)A．35°B．70°C．110°D．145°【思路点拨】首先根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．方法总结在遇到相交线问题时，会产生对顶角和邻补角；在遇到角平分线问题时，会产生相等的角或角的倍分关系.灵活运用这些性质，会给解题带来方便，在中考命题中，通常和三角形的内角和定理或特殊三角形的性质结合考查.(2013·福州)如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是(C)A．20°B．40°C．50°D．60°(2013·六盘水)直尺与三角板按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有______个．(B)A．2个B．3个C．4个D．6个如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝70度．考点二平行线的性质与判定(2013·重庆)如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1＝50°，则∠2等于(B)A．60°B．50°C．40°D．30°【思路点拨】先判定a∥b，再由平行线的性质得∠2＝∠1.方法总结1.平行线的判定是根据同位角、内错角的“相等”和同旁内角的“互补”这种数量关系得到平行的位置关系.2.平行线的性质是在“平行”这种位置关系下，得到的两个角的“数量关系”，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.(2013·昭通)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是(A)A．40°B．50°C．60°D．140°(2013·襄阳)如图，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD＝70°，则∠ABD的度数为(A)A．55°B．50°C．45°D．40°如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝(D)A．120°B．130°C．145°D．150°考点三命题、证明(2013·聊城)下列命题中的真命题是()A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】根据真命题的定义及矩形、菱形、正方形的判定和五边形的性质进行判断命题的真假．解析：三个角相等，不能说明这三个角是直角，∴不一定是矩形，∴A是假命题；对角线互相垂直且相等但并没有说明互相平分，∴这个四边形不一定是正方形，∴B是假命题；C是真命题；正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，∴D是假命题．故选C.答案：C方法总结识别命题的真假，可采用排除法，通过举出反例的方法将假命题排除.选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设(A)A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°要说明命题：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是(A)A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．直角梯形(2013·深圳)下列命题是真命题的有(C)①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．A．1个B．2个C．3个D．4个能力评估检测1．(2013·厦门)已知∠A＝60°，则∠A的补角是(B)A．160°B．120°C．60°D．30°2．(2013·玉林)直线c与a，b均相交，当a∥b时(如图)，则(C)A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1＝∠2D．∠1＋∠2＝90°3．(2013·珠海)如图，两平行线a，b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为(C)A．30°B．45°C．60°D．120°4．(2013·枣庄)如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为(D)A．140°B．60°C．50°D．40°5．(2013·娄底)下列图形中，由AB∥CD，能使∠1＝∠2成立的是(B)6．对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是(C)A．a＝－2，b＝－2B．a＝－2，b＝3C．a＝－3，b＝3D．a＝3，b＝37．(2013·梅州)若∠α＝42°，则∠α的余角的度数是48°.8．(2013·台州)如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝36度．9．(2013·曲靖)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝40°.10．(2013·成都)如图，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD＝60度．11．(2013·永州)如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是(C)A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠1＋∠3＝180°D．∠3＝∠512．(2013·宜昌)如图，已知AB∥CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠BEC＝100°，则∠D的度数是(D)A．100°B．80°C．60°D．50°13．(2013·桂林)下列命题的逆命题不正确的是(D)A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等14．(2013·遵义)如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是(A)A．70°B．80°C．65°D．60°15．(2013·株洲)如图，直线l1∥l2∥l3，点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC＝120度．16．(2013·新疆)如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠D的度数是130°.17．(2013·镇江)如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝50°.18．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°.19．如图，已知点A，O，B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．解：∵点A，O，B在一条直线上，即∠AOB＝180°，又∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝180°－90°＝