3[1].3模糊等价矩阵与模糊相似矩阵

3.3模糊等价矩阵与模糊相似矩阵,mnRU(),ijRr[0,1],()ijRr10ijijijrrr(),ijRrR3.3.1定义3-15设对记其中则称为的截矩阵.截矩阵.RRR0.80.30.60.20.40.70.50.81R0.6101001011R0.7100001011R的截矩阵对应于模糊关系的截关系.的元素仅能是0或1,因此相应的是一普通关系.例如则显然截关系[0,1],RSRS,RS,RS.ijijrs,RS,ijijrs截矩阵的性质证设欲证只需证已知即对分两种情况;(1)对1,ijijrr1,ijijijrss;ijijrs①而于是,ijijrs0,ijijss1,ijijss.ijijrs.RS而此时或或于是故0,ijijrr②,RS.RS,RS00(,),ij0000.ijijrs00,ijr00001,0,ijijrsRS.RS再设来证明(反证法)假设则必使取则有这与矛盾.故(),().RSRSRSRS,,RSCRSD,.ijijijijijijrscrsd()RSRS.ijijcd证只证第一式.设从而有于是,要证只需证分两种情况:(2)1ijijijijcrsr1ijijsr1()()11.ijijijijsrsd0ijijijijcrsr0ijijsr0()()00ijijijijsrsd,ijijcd,CD()RSRS①或或②且且总之故即()QRQR.SQR(),QRQR1()mijikkjksqr(3)证设要证即要证分两种情况:11()mijijikkjkssqr()()()()ikkjikkjkqrkqr且1()(11)()1mikkjikkjkkqrqr且101()1mijijikkjkssqr1()0.mikkjkqr1()mijikkjksqr()QRQR①②故即(4)()()TTRR,nnRU2,RRRRRR().tR3.3.2模糊传递矩阵若则包含而又被任一包含的传递矩阵所包含的的传递闭包,记作关于传递闭包有以下结论:定义3-16设称为模糊传递矩阵.传递矩阵,称为,nnRU21()mkktRRRRR定理3-6对任意总有1(),kktRR1kkR,QR1.kkQR1111kkkjkkkjRRRR1111kjkjkjkjRRR21mkmkRR1kkR证要证明就是要证明是传递的,有因为所以是传递的.同时对任意传递矩阵nnQU.QRQ2,,kQQQQ,QRkkQR,kkQQR,kQRk1kkQR1()kktRR设为任意传递矩阵且因为是传递的,所以又由有从而有即再由的任意性得于是有,nnRU1().nmmtRRU,Rn,Rn定理3-7设则此定理的重要性在于,对有限域上的模糊关系如果对应的模糊矩阵为阶方阵则它的传递闭包次并运算即可求出.(证明略.)只需,nnRURR12345,,,,,UuuuuuRU10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RRU3.3.3模糊等价矩阵与模糊相似矩阵若的模糊矩阵，则例1设是上的模糊关系,可表示为求证是上的模糊等价矩阵.定义3-17设是自反、对称、传递称为模糊等价矩阵。R2RRRRRRR证显然是自反、对称的,经计算得到所以,是传递的.为模糊等价矩阵,为模糊等价关系.故nnRU[0,1],R[0,1],,RR定理3-8是等价矩阵的充要条件是:对都是等价的普通矩阵.便可以相应得到一个普通等价关系于是由便可决定一个水平的分类.显然,不同的对应着不同的分类,当形成一个动态的图象.那么,由于有何特征呢?这就是下面的定理要说明的问题.关于等价矩阵有两个重要的结论定理说明有限域上的模糊等价关系确定后,对给定的从1降到0时,分类也随之变化,的变化而分出的类01,RR(1)(1),ijijijijrrrr11().ijijrr,ijRR定理3-9若则分出的每一个类必是所分出的子类.亦即这说明,若按照归为一类,则按一类,从而证明了定理的正确性.此定理指出类分得越细.因此若要把问题分得细些,只需增大即可.证亦必归为越大,UUR10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RR,RURURRiuju1.ijr例2试将例1中的解例1中上的模糊关系的矩阵为已经证明是等价矩阵,现在利用截矩阵对分类.所谓利用对分类是指:令写出相应的然后按分类,与归为同类等价于分类.由1降至0,1,11000001000001000001000001R12345{},{},{},{},{}.uuuuu(1)令则此时分为五类:亦即每一个元素为一类,这是最细的分类.0.80.81010001000101000001000001R13245{,},{},{},{}.uuuuu(2)令,则此时分为四类:0.6,0.61010001000101000001100011R13245{,},{},{,}uuuuu0.5,0.51011101000101111011110111R13452{,,,},{}.uuuuu(3)令则此时分为三类:(4)令则此时分为两类:0.4,0.1,RE12345{,,,,},uuuuu,nnRURR(5)令则此时全归为一类定义3-18设若是自反、对称的模糊矩阵,则称为模糊相似矩阵.即分类“最粗”.上述分类过程是一个动态的聚类过程.例如10.40.50.410.60.50.61R就是一个相似矩阵.易见,模糊等价关系是相似关系的特殊情况.模糊等价矩阵可以进行分类,先把它改造成为模糊等价矩阵,然后进行分类.nnRU,kn()()ktRRknk,l.lkRR()ijnnRr1(1,2,,).iirin2(),ijnnRRRc定理3-10为相似矩阵,则存在最小的自然数使得且对于一切大于的自然数有证设为相似矩阵,由于其自反性,于是有考虑其中1()nijippjiiijijpcrrrrr,ijijrc2.RR即故利用模糊矩阵合成的性质,得322RRRRRR2221kkkkRRRRRR2kRRR1()nmnmtRRRn,kn()ktRR23RRR()in1iinRRRkik,l1()()klmmtRRRRtRlkRR从而有非降序列于是由定理3-7与上式知:又由于是一个有限的自然数,因此必定存在自然数使得(当非降矩阵序列从中间某一个起,有时,取对于任意的大于的自然数因为所以12422kkRRRRR122,kkRR2()ktRR122,kkn21logknk2log1kn2log1n计算直至出现则因为所以这表明用逐次平方法,至多只需要步便可得到传递闭包.由此定理,我们可得出求相似矩阵传递闭包的简捷方法如下:此方法叫做逐次平方法.nnRUR()ktRR,RI,kkRII()kRtR,TRR[()]()()(),TkTTkktRRRRtR()ktRR()ktRR()ktRR定理3-11为一相似矩阵,则的传递闭包证(1)若则即是自反的;则即(3)由传递闭包的定义,因此,是模糊等价矩阵.必是模糊等价矩阵.(2)若是对称的;是传递的.定理3-10和定理3-11表明,用逐次平方法可以把一个模糊相似矩阵改造为一个模糊等价矩阵.10.10.20.110.30.20.31R10.10.210.10.20.110.30.110.30.20.310.20.31RR210.20.20.210.30.20.31R2210.20.210.20.20.210.30.210.30.20.310.20.31RR4210.20.20.210.30.20.31RR2R例10把相似矩阵改造成为一等价矩阵.于是就是所求的等价矩阵.解一个博采众长的求传递闭包的算法付国耀ijnnAatA设为模糊相似矩阵，求，步骤11221maxmaxjjnnnnjnjnaaa1i、求,假设1111,,,iiiiAaaaa将中元素用圆圈圈起来，11111,iiiiiaaaaa1记x=,2A、假定中有圈的k行k=2,3,n-1是12,kiii=1,，行1kjkxikx所在的列是列，在这行的剩下元素中找最大元1212,,,,,,maxkkkijiiiijiiixa,kilxa假定11,,jkjkiikiikililaxaxaa用，，1,,kililaa代替，其对称元素也代替，lla最后把它们及=1用圈圈起来.1kn这过程一直做到，ija得到的矩阵A=就是tA例：求A的传递闭包解12113210.50.40.810.50.40.80.510.70.50.510.70.50.40.710.60.40.710.60.80.50.610.80.50.6110.50.60.810.60.60.80.510.70.50.60.710.60.80.50.61A320.610.70.60.60.710.60.80.60.61tR10.50.40.80.510.70.50.40.710.60.80.50.61A