17函数单调性及其极值、最值

函数单调性及其极值、最值定理1设函数在上连续，在区间),(ba)(xfyba,内可导，（1）如果在内，则在),(ba0)(xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)(xf)(xfba,上单调减少。（2）如果在内,则在一、函数单调性的充分条件证),,(21xx存在使得0)()()(1212fxxxfxf又因为,21xx即012xx,0)()(12xfxf故)()(12xfxf所以)(xf在ba,上单调增加。（1）设在区间内),(ba0)(xf,在),(ba两点21,xx21xx,由拉格朗日中值定理且内任取即当21xx同理可证（2）.确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；'()0'()fxfx和不存在的点，3、确定在各个子区间的符号，从而判断出的单调性。'()fx()fx例1确定函数的单调区间。32352353)(xxxf解的定义域是)(xf),(令，得，又处导数不存在，0)(xf1x0x1x，这两点将分成三个区间，0x),(列表分析在各个区间的符号：)(xfx)0,()1,0(),(1)(xf)(xf331321)(xxxxxf由表可知，的单调增加区间为和)(xf)0,(，单调减少区间为。),1()1,0(例2.确定函数的单调区间.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12解的定义域是)(xf),(.23833238的单调性讨论xxy.1,10xxy得令.0不存在，时当yx32313135)1)(1()1(xxxxxxxy例3).,(所给函数的定义域为解这三个点x=－1，0，1将y的定义域分为四个子区间.),(),1(),1,0(),0,1(),1,(x－１01－0+不存在－0+yy)1,()0,1()1,0(),1(所以函数的单调递增区间为.),1(),0,1()1,0(),1,(单调递减区间为.如果F(x)满足下面的条件：.0)(,)2(0xFxx有时当即，有时当，为单调增加函数可知则由0)(,)(0xFxxxF.)()(xgxf设F(x)=f(x)－g(x)其基本方法是：往往可以利用单调性证明不等式.)()(xgxf,0)()1(0xF.ee1xxx，时试证当ee)(xxF.0)1()(FxF即.0)1()(FxF即.ee0)(1xxFxx，即，都有故对任意例4证明：，令xxFxee)(.0)1(F且,),()(内连续在易知xF,0ee)(11xxFx时，）当（，递减上的为可知函数单调]1,()(xF，上的为可知严格单调增加函数),1[)(xF,0ee)(12xxFx时，）当（二、函数极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有)()(0xfxf(1)成立，则称为f(x)的极大值，称为f(x)的极大值点；)(0xf0x(2)成立，则称为f(x)的极小值，称为f(x)的极小值点.)()(0xfxf)(0xf0x极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点定理2（极值的必要条件）如果函数在点)(xf处可导，且在点取得极值，则。0x0x0)(0xf0)(0xf0x)(xf使的点称为函数的驻点。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.例如为其驻点，但是x=0不是的极值点.0,3xxy3xy定理3(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf(4)判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi较小的邻域内)的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.),,2,1(kixi)(xf由定理3判定函数极值一般步骤为：.)()()3(1kxxxfxf，，不存在的点的所有驻点和求出).()2(xf求出(1)求函数的定义域例5求函数的极值。123)(32xxxf解的定义域是)(xf),(333111)(xxxxf令，得驻点，而时不存在。0)(xf1x0x)(xf因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：x)(xf)(xf)0,()1,0(01),1(不存在021极小值1极大值由表可知，在处取得极大值，)(xf0x1)0(f)(xf在处取得极小值。1x21)(xf函数的图形如图123)(32xxxf01x121y例6.求函数的极值.32)(xxf3132)1(xx32531xx令,0)(xf得;52x,)(,0无意义而xfx列表得x)(xf)(xf无意义05200极大值33.0极小值)0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为解的定义域是)(xf),(，的极大值点为，时当)(0)()1(00xfxxf定理4(判定极值的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且则,0)(,0)(00xfxf的极小值点.为时，当)(0)()2(00xfxxf由定理4判定函数极值一般步骤为：1、确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；2、考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；3、求出极值点处的函数值，得到极值。.638234的极值与极值点求，分条件利用判定极值的第二充xxxy.3010321xxxy，，得驻点令xxxy128423.1216122xxy例7所给的函数定义域为.),(解).3)(1(4xxx016121612|1xy012|0xy048|3xy,11为函数的极小值点可知x.37|1xy极小值为的相应，为函数的极大值点02x.0|0xy相应极小大值为.33为函数的极小值点x.45|3xy相应极小值为函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函数在上的最小值。三、函数的最值闭区间[a，b]上的连续函数最值求法：)(xf例8、求函数在区间41232)(23xxxxf4,3上的最大值与最小值。解)1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242)(,)(,)(,)(ffff比较可知，在上最大值为，最小值)(xf4,3132)4(f为3)1(f0)(xf令得驻点:.,1221xx若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例9将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa)2,0(,)2(2axxaxv令，得（舍去）。又0v2,621axax04)6(aav所以函数在处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时，所做的方盒容积最大。v6ax61ax方盒的容积为：),6)(2(xaxav例10制作一个容积为的圆柱形密闭容器，V怎样设计才能使所用材料最省？解如图，设容器的底面半径为，高为，rh则表面积为rhrS222),0(,222rrVrS232)2(224rVrrVrS2rVh所以令0S，得驻点32VrhrhrV2由已知得故rrVh22所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时