2-1 傅立叶变换与拉普拉斯变换

第二章控制系统的数学模型烟台大学光电学院§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换2.1.1傅立叶级数一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t)可以展开成傅立叶级数的形式：011()(cossin)2nnnftaantbntww∞==++∑2021a()TTftdtT-=∫222()cosTTnaftntdtTw-=∫222()sinTTnbftntdtTw-=∫(1,2,3)n=LLn=0——直流分量n=1——基波谐波n=2——二次谐波：傅立叶级数的物理意义：例1：求周期方波的傅立叶级数展开式。（P19）0,24(),440,42TTtTTftAtTTt⎧--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪⎩4T-2T-4T2Ttf(t)A0方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以合成方波。2402242()coscossinsin42TTTnAnTAnaftntdtAntdtTTnTnwp====∫∫222()sin0TTnbftntdtTw-==∫2202211()TTTTaftdtAdtATT--===∫∫01112()(cossin)sincos222nnnnAAnftaantbntntnp∞∞===++=+∑∑211(coscos3cos5)235AAttt=+-+-Lt0基波分量一次谐波t0三次谐波合成波形t0五次谐波各种不同频率的谐波可以合成方波。所含谐波越多，越接近方波。低次谐波影响顶部，高次谐波影响跳变沿。tf(t)A0Dirichlet条件n周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet条件：（1）在一个周期内只有有限个不连续点；（2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值（3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积，即：22|()|TTftdt-∫积分存在对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数的形式，引入傅立叶变换：2.1.2傅立叶变换()jtFftedtww∞-∞∫－正变换（）=：()jtfFed∞∞∫－逆1（t）变=2换：|()|ftdt∞-∞∞∫傅立叶变换存在的充分条件：信号f(t)满足绝对可积，即：例2：,()0,,Aatafttata-⎧=⎨⎩f(t)A0a-atω0|F(ω)|2aAap-2ap-3ap-ap2ap3ap2()()sinajtjtaAFftedtAedta∞---∞-===∫∫则：2sin|()||sin|2||AaFaaAa==n对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件，但引入一衰减因子后，可以满足绝对收敛的条件。例如：阶跃函数1(t)不满足但增加衰减因子后，满足则：令：s=σ＋jω则得到拉普拉斯变换。2.1.2拉普拉斯变换1(t)dt∞-∞∞∫1(t)tedts∞--∞∞∫gtes-()01()1(t)tjtjtFeedtedtjswswswsw∞∞---+-∞===+∫∫1.拉普拉斯变换()()jstftFsedsssp+∞∞∫－j逆变换：1=2j()()stFsftedt∞-∞∫＋－（）=正换：双边变0()()stFsftedt∞--∫＋（）=单边()()ftFs——原函数；——象函数2.常用函数拉普拉斯变换（P28表2－3）21(1)(2)(3)(4)(111()1()(11!5)1)natnttttnsssaesd--←─→←─→←─→←─→←─→+-222222222(6)(7)(8)(sincossinco1()()()9)(0s1)atatattetsassssasasetatet←─→←─→←++++─→←─→←─→++++★3.拉普拉斯变换基本性质（P28表2－2）6对s微分5对t积分4对t微分（P23）3尺度变换2时域平移1线性象函数原函数基本运算00()1()ftttt--12()()aFsbFs+12()()aftbft+0()seFst-()ft()Fs()fat1()sFaa()nndftdt11()0()(0)nnnrrrsFssf---=-∑()ftdtt-∞∫(1)1[()(0)]Fsfs-+()tft()dFsds-3.拉普拉斯变换基本性质（续）11卷积10终值9初值8s域平移7对s积分象函数原函数基本运算()ft()Fs()sFsds∞∫1()ftt()ateft-()Fsa+0lim()tft+→lim()ssFs→∞lim()tft→∞0lim()ssFs→12120()*()()()tftftfftdttt=-∫12()()FsFsn查表法（P28表2－3）n部分分式展开法√n留数法4.拉普拉斯逆变换已知象函数F(s)，求原函数f(t)部分分式展开法1212()()()()()()()()()mnszszszBsFsAsspspsp++⋅⋅⋅+==++⋅⋅⋅+F(s)化成下列因式分解形式：mnzp——零点；——极点(1)F(s)中具有不同的极点时，可展开为1212()nnaaaFsspspsp=++⋅⋅⋅++++[()()]|kkkspaFssp=-=+1212()npppnftaeaeae---=++⋅⋅⋅+则：例3:求的原函数f(t)。22()43sFsss+=++解：12222()43(1)(3)(1)(3)ccssFsssssss++===+++++++Q11121(1)()||(3)2ssscsFss=-=-+=+==+23321(3)()||(1)2ssscsFss=-=-+=+==+1122()(1)(3)Fsss∴=+++311()22ttftee--∴=+(2)F(s)含有多重极点时，可展开为11111111()()()()()()nrrrrrrnacccaFsspspspspsp-+-+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++11[()()]|rrspcFssp=-=+111{[()()]}|rrspdcFsspds-=-=+11:1{[()()]}|!:jrrjspjdcFsspjds-=-=+111111{[()()]}|(1)!rrsprdcFssprds-=--=+-[()()]|kkkspaFssp=-=+1121211()[](1)!(2)!irrnptptrriirctctftctceaerr-----=+=+++++--∑L则：解：例4:求的原函数f(t)。22()(1)(3)sFssss+=++3124222()(1)(3)(3)(1)(1)ccccsFssssssss+==++++++++Q102()|3scsFs===231(3)()|12scsFs=-=+=2311(1)()|2scsFs=-=+=-24113[(1)()]|(21)!4sdcsFsdt=-=+=--g32113()31224tttftetee---∴=+--2211331224()(3)(1)(1)Fsssss--∴=++++++解：例5：求函数的逆变换223()(25)(2)sFssss+=+++222233()(2)(25)(2)(12)(12)ssFssssssjsj++==+++++++-Q312(2)(12)(12)cccssjsj=++++++-127(2)()|5scsFs=-=+=21212(12)()|5sjjcsjFs=----=++=31212(12)()|5sjjcsjFs=-+-+=+-=21212755()5(12)(12)tjjftesjsj----+∴=+++++-272[cos(2)2sin(2)]55teett---=++tsin()2cos()2jtjtjtjteetjeet=+=欧拉公式：