第3章有限元法基础――概述

第三章有限元法基础——概述有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方法。通过本章的实例，使学生理解有限元建模的基本概念，包括直接公式法，最小势能原理和加权余数法。一、工程问题二、数值方法三、有限元方法的基本步骤四、直接公式法五、最小总势能法六、加权余数法七、结果的验证本章的内容工程问题一般是物理问题的数学模型。数学模型是带有边界条件和初始问题的微分方程，微分方程是通过对系统应用自然的基本定律和原理推导出来的，如波动方程等。这些微分方程代表了某种物理规律或平衡。在可能的情况下，由给定的条件求解微分方程可以得到系统的精确行为。在任何给定的工程问题中，存在两种影响系统行为的参数：1）系统参数，表示给定系统自然行为的参数，例如弹性模量、热传导因子和粘度等。2）扰动参数，是系统存在产生扰动的参数，如外力、力矩、介质的温度差和流体的压力差等。在有限元建模中，理解参数在刚度或传导矩阵以及负荷矩阵中的作用是非常重要的。系统参数（特性）总是在刚度矩阵、传导矩阵中得到体现，而扰动参数总是出现在负荷矩阵中。一、工程问题在许多实际工程问题中，由于微分方程的复杂性或边界条件和初始条件的难以确定性，得不到系统的精确解。为此我们借助数值方法来近似。解析解表明了系统在任何点上的精确行为，而数值解只在称为节点的离散点上近似于解析解。数值法的第一步都是离散化。这一过程将系统分成一些单元和节点，然后对每一单元或节点建立代数方程组。这种方法假设代表每个单元的近似函数是连续的。假设单元间的边界是连续的，通过组合各单元的解产生系统的完全解。二、数值方法三、有限元方法的基本步骤一、预处理阶段1建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和单元。2假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似连续函数。3对单元建立方程。4将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。5应用边界条件、初值条件和负荷。二、求解阶段6求解线性或非线性的方程组，以得到节点的值，例如得到不同节点的位移量或热传递问题中不同节点的温度值。三、后处理阶段7得到其他重要的信息。如主应力、热量值等。四、直接公式法例1杆的一端固定，另一端承受负荷P，杆的厚度t，长度L。杆的弹性模量用E表示。假设应用的负荷比杆的重量大的多。将问题域离散成有限的单元，首先将问题分解成节点和单元。我们用5节点4单元的模型代替杆，如图所示，分的越细越精确。杆的模型中有四个独立的分段，每个分段都有统一的横截面积。1）离散化——单元、节点2）假设近似单元行为的近似解考虑一个带有统一横截面A的实体的偏转量，横截面的长度为l，承受的外力为F，如图所示。FAllE实体的平均应力为实体的平均应变为应变与应力的关系为这里E是弹性模量AEFlleqAEkleqFkl这样有令，则12iieqAAEkliA1iAi1i这相当于弹簧。我们认为杆由四个弹性系数不同的弹簧组成，对每个弹簧来说，和分别是和处的节点的横截面积，l是单元的长度。静力学要求每个节点上的应力和为零，所以11210Rkuu1212320kuukuu2323430kuukuu3434540kuukuu4540kuuP节点1：节点2：节点3：节点4：节点5：重新组合方程组，得到:1112kuku1R11122223kukukuku022233334kukukuku033344445kukukuku04445kukuP写成矩阵的形式为1111222233334444000000000000kkkkkkkkkkkkkkkk12345uuuuu1000RP=在负荷矩阵中，将反作用力和负荷区分开来是很重要的，于是10000R1111222233334444000000000000kkkkkkkkkkkkkkkk12345uuuuu0000P=上式表示成RKuF上式中，R为反作用力，K为刚度矩阵，u为位移矩阵，F为负荷矩阵。由于杆的顶端是固定的，其位移为零，10u上面的方程简化为1122223333444410000000000000kkkkkkkkkkkkkk12345uuuuu0000P求解上面的方程，得到节点的位移量。3）对单元建立方程每个单元有两个节点，每个节点相应一个位移量，因此我们需要对每个单元建立两个方程，这些方程必须和节点的位移量和单元的刚度有关，考虑单元内部传递的力的关系。节点满足的方程为1ieqiifkuu11ieqiifkuu写成矩阵形式11eqeqiieqeqiikkfukkfu4）将单元组合起来表示整体问题单元1的刚度矩阵为(1)1111kkKkk它在总体刚度矩阵中的位置为111211(1)345000000000000000000000GukkukkKuuu类似的，对于单元2、3、4，我们有(2)2222kkKkk1222(2)32245000000000000000000000GuukkKukkuu(3)3333kkKkk12(3)3334335000000000000000000000GuuKukkukku(4)4444kkKkk12(4)3444544000000000000000000000GuuKuukkukk总体刚度矩阵为()(1)(2)(3)(4)GGGGGKKKKK11121122()3223343344544000000000000GukkukkkkKukkkkukkkkukk利用单元建立方程和利用节点建立方程，得到的结果一样。5）应用边界条件和负荷杆的顶端是固定的，即有边界条件。在节点5处加外力P，于是10u1122223333444410000000000000kkkkkkkkkkkkkk12345uuuuu0000P矩阵中的第一行必须包含一个1和四个0，以读取给定的边界条件10u在固体力学的问题中，有限元公式一般有如下的形式：KuF6）求解阶段310310我们以例题来说明它。6210.410lbEin12win21win0.125tin10Lin1000Plb假设铝610.410610.410610.410310610.410975845715585单元节点平均截面面积（in2）长度（in）弹性模量单元刚度系数1120.2343752.52230.2031252.53340.1718752.54450.1406252.5310杆的横截面面积的变化可以由下式来表示2110.250.0125wwAywytyL这样，每个横截面上的面积为210.25Ain220.21875Ain230.1875Ain240.15625Ain250.125Ain每个单元的对等刚度系数为：12iieqAAEkl3197510k3458510k3284510k3371510k单元矩阵为：(1)397597510975975K(2)384584510845845K(3)371571510715715K(4)358558510585585K总体刚度矩阵为397597500097597584584500100845845715715000715715585585000585585GK10u1000Plb应用边界条件和负荷，得到3100009759758458450010084584571571500071571558558500058558512345uuuuu3000010第二行中，系数－975乘以1u的结果为零，我们得到如下矩阵3975845845001084584571571500715715585585005855852345uuuu300010位移量的解是10u20.001026u30.002210u40.003608u50.005317u7）获取其他信息应力111avgiieqiiiiavgavgAEuukuuuuflEAAAl(1)2124268uulbElin(2)3224925uulbElin(3)4325816uulbElin(4)5427109uulbElin经理论计算，应力的精确值为(1)100042670.234375avgfA2lbin(2)100049230.203125avgfA2lbin(3)100058180.171875avgfA2lbin(4)100071110.140625avgfA2lbin在允许误差的情况下，计算结果和精确值相等。反作用力RKuF12345RRRRR39759750009759758458450010084584571571500071571558558500058558500.0010260.0022100.0036080.005317300001012345RRRRR3100000070F020F例2房屋的外墙壁包括许多种材料，如下表所示。假设房屋内的温度是，房屋外的温度为，接触面积为150ft2确定墙壁内的温度分布。1）离散化将问题域离散成有限元。我们用一个包含七节点、六单元的模型来表示这个问题，如图所示。2）假设近似单元行为的近似解对于热传导问题，能量通过分子运动从高温区域向低温区域传递，热传导率由傅里叶定律得出xTqkAXxqTX是热传导率的X分量，k是介质的热传导率，A是面积，这样是温度梯度，1iiTTqkAl令kUl，则1iiqUATTU：热传递系数、U因子单元（1）和（6）的稳态热力学行为可以用牛顿冷却定律进行建模。当运动的流体接触到温度不同的表面时，就会出现热对流。sfqhATTsTfT这里，h是热传导系数，是表面的温度，也可以写成如下形式是流体的温度，牛顿冷却定律sfqUATT这里，Uh传递的热量，即，在稳态传导下，通过传导传递的热量应该等于通过对流sfTkAhATTX节点2处的墙壁外表面，通过墙壁传导而损失的热量必须和通过周围空气对流损失的热量相等，即232121UATTUATT将热平衡条件应