4§4―2运动副中摩擦力的确定

§4—2运动副中摩擦力的确定在机械运动时运动副两元素间将产生摩擦力。下面分析移动副、螺旋副、转动副和平面高副中的摩擦。一、移动副中的摩擦如图4-2，a所示为滑块1与水平平台2构成的移动副，G为作用在滑块1上的铅垂载荷，设滑块1在水平力F的作用下等速向右移动。平台2对滑块1产生的反力有：法向反力N21、摩擦力F21。它们的合力称为总反力，以R21表示。R21=N21+F21即：方向：与1相对于2的相对速度V12的方向相反。其中：大小：F21=fN21f——摩擦系数；（N21=G）F21图4-2a）1）两构件沿单一平面接触（图a）两接触面间摩擦系数f相同时，摩擦力F21的大小取决于接触面的几何形状：∵N21=G∴F21=fG2）两构件沿单一槽形角为2θ的槽面接触（图b）∵N21=G/sinθ∴F21=fG/sinθ3）两构件沿单一半圆柱面接触（图c）∵其接触面各点处的法向反力均沿径向∴法向反力的数量总和可表示为kG，则F21=fkG。系数k接触面为点、线接触时：k≈1接触面为整个半圆柱面均匀接触时：k=π/2其余情况下：k=1~π/2图4-2b）c）为了简化计算，将摩擦力F21的计算式统一表示为：F21=f·N21=fv·Gfv——称为当量摩擦系数，它相当于把其它接触视为平面接触时的摩擦系数。fv运动副两元素为平面接触时：fv=f运动副两元素为槽面接触时：fv=f/sinθ运动副两元素为半圆柱面接触时：fv=kf∴常利用其它接触的移动副来增大摩擦力，如三角带传动、三角螺纹联接。∵一般θ≤90°、k≥1∴fvf，即其它接触比平面接触的摩擦力大。摩擦角：总反力R21与法向反力N21所夹的锐角ψ，称为摩擦角。与fv相对应的摩擦角ψv称为当量摩擦角，ψv=arctanfv。tgψ=2121NF2121NNf=f=∴ψ=arctanf总反力R21方向的确定：R21与构件1相对于构件2的相对速度V12的方向成90°+ψ，其中ψ为摩擦角。注意：在确定运动副（包括转动副、高副）的反力时，常用总反力R21来表示，而不分法向反力N21与摩擦力F21。例：如图4-3、4-4所示的斜面机构中，将滑块1置于升角为α的斜面2上，G为作用在滑块1上的铅垂载荷（包括滑块自重）。试求：1）使滑块1沿斜面2等速上升（通常称此行程为正行程）时所需的水平驱动力F；2）保持滑块1沿斜面2等速下滑（称此行程为反行程）时所需的水平力F′。图4-3图4-4解：1）滑块等速上升：如图4-3a)斜面2对滑块1的总反力为R21。根据力的平衡条件：G+F+R21=0方向：√√大小：√？？作力多边形，如图4-3b)。∴F=G·tan(α+ψ)图4-3a）图4-3b）√v122）滑块等速下滑：如图4-4a)斜面2对滑块1的总反力为R21′。根据力的平衡条件：G+F′+R21′=0方向：√√大小：√？？作力多边形，如图4-4b)。∴F′=G·tan(α-ψ)图4-4a)图4-4b)√v12由以上分析可知，当已经列出了正行程的力关系式后，反行程的力关系式可以直接用-ψ代替ψ即可，而不必再作力多边形来求解。在反行程中G为驱动力，当αψ时，F′为正值，是阻止滑块沿斜面加速下滑的阻抗力；当αψ时，F′为负值，其方向与图示方向相反，F′为驱动力，其作用是促使滑块沿斜面等速下滑。注意：F′=G·tan(α-ψ)二、螺旋副中的摩擦当组成螺旋副的两构件（螺母、螺杆）作相对运动时，如两者的螺纹间受有载荷，则在螺纹接触面间将产生摩擦力。螺纹可分：矩形螺纹、三角形（普通）螺纹。1、矩形螺纹螺旋副中的摩擦如图4-5a)所示为矩形螺纹螺旋副，其中1为螺母、2为螺杆。由于螺杆2的螺纹可以设想是由一斜面卷绕在圆柱体上形成的，所以可将螺母1与螺杆2螺旋副中的摩擦简化为滑块1沿斜面2滑动（图b）的斜面摩擦来研究。图4-5b）图4-5a）设螺母1上受有轴向载荷G，在螺母上加一力矩M，使螺母旋转并逆着G力等速向上运动（对螺纹联接来说，这时为拧紧螺母），则在图b中，就相当于在滑块2上加一水平力F，使滑块2沿着斜面等速上升。则：F=G·tan(α+ψ)图4-5b）图4-5a）α为螺杆在中径d2上的螺纹导程角，即：tanα=l/πd2=zp/πd2。F=G·tan(α+ψ)F相当于拧紧螺母时必须在螺纹中径处施加的圆周力，故拧紧螺母时所需的力矩M为：M=Fd2/2=Gd2tan(α+ψ)/2同理，放松螺母（相当于滑块等速下滑）时所需的力矩M′为：M′=F′d2/2=Gd2tan(α-ψ)/2注意：当αψ时，M′为正值，其方向与螺母运动方向相反，它是一阻抗力矩，其作用是阻止螺母的加速松退。当αψ时，M′为负值，其方向与预先假定的方向相反，即与螺母运动方向相同，这时它是放松螺母时所需外力的驱动力矩。图4-5b）2、三角形（普通）螺纹螺旋副中的摩擦如图4-6所示为三角形（普通）螺纹，其螺旋副中的摩擦可简化为一槽形滑块沿槽形斜面滑动的摩擦问题。在研究三角形（普通）螺纹螺旋副中的摩擦时，只要用当量摩擦角ψv代入矩形螺纹公式中的摩擦角ψ即可。ψv=arctanfvfv=f/sin(90°-β)=f/cosβ其中：90°-β为三角形螺纹的楔形半角，β为螺纹工作面的牙形斜角。放松螺母所需的力矩为：则拧紧螺母所需的力矩为：M=Gd2tan(α+ψv)/2M′=Gd2tan(α-ψv)/2图4-6三、转动副中的摩擦转动副在各种机械中应用很广，常见的有轴和轴承以及各种铰链。转动副中的摩擦按载荷作用的不同分为两种：轴颈的摩擦和轴端摩擦。1、轴颈的摩擦轴颈是指轴放在轴承中的部分。轴颈和轴承构成转动副。如图4-8所示，轴颈1受有径向载荷G（包括自重），在驱动力矩Md的作用下以ω12方向在轴承2中等速转动。轴颈半径为r，轴颈与轴承之间的摩擦系数为f。图4-8现来讨论摩擦力对轴颈所产生的摩擦力矩Mf，以及确定总反力的作用线。由于轴颈1受有径向载荷G及驱动力矩Md的作用，则轴承2对轴颈1产生：法向反力N21、摩擦力F21。并且有：F21=fN21=fvG。式中fv——当量摩擦系数，其大小为：对于配合紧密且未经跑合的转动副，fv取较大值；对于有较大间隙的转动副，fv取较小值。fv=（1~π/2）f图4-8图4-8摩擦力F21对轴颈形成的摩擦力矩Mf为：Mf=F21·r=fvGr将N21、F21用总反力R21表示，则根据力的平衡条件：R21=-GMd=-R21ρ=-Mf（ρ—轴颈中心O到R21作用线的距离）故：Mf=fvGr=fvR21r=R21ρ∴ρ=fvr对于一个具体的轴颈，由于r、fv均为定值，故ρ为定值。以轴颈中心O为圆心，以ρ为半径作的圆，称为摩擦圆，ρ称为摩擦圆半径。由此可见，轴承2对轴颈1的总反力R21将始终切于摩擦圆。▲总反力R21作用线的方位可根据以下三点来确定：1）R21恒切于摩擦圆；2）R21应与其它所有外力满足力的平衡条件；3）R21对轴颈中心之矩应与1相对于2的角速度ω12方向相反。2、轴端的摩擦（不要求掌握）四、平面高副中的摩擦如图所示的平面高副两元素在K点接触，如构件1相对于构件2的相对速度V12的方向如箭头所示。平面高副两元素间的相对运动通常是滚动兼滑动，所以产生滚动摩擦力和滑动摩擦力。而不过，由于滚动摩擦力一般较滑动摩擦力小得多，所以在对机械受力分析时只考虑滑动摩擦力，可用移动副的方法来确定平面高副的总反力。R21与构件1相对于构件2的相对速度V12的方向成90°+ψ，其中ψ为摩擦角。则：