2-7矩阵的秩

第七节矩阵的秩定义19在m×n矩阵A中任取r行、r列(r≤min{m,n}),位于这些行与列交叉处的元素所构成的r阶行列式，称为矩阵A的r阶子式。定义20当A≠0时，A中非零最高阶子式的阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A)(或秩A);当A=0时,规定R(A)=0.rARaAnmij)()(设mnmmjnjjjninjijinkrraaaaaakaakaakaaaaaAji2121221111211定理5矩阵的初等变换不改变矩阵的秩定理得证阵，也为零矩为零矩阵，则如果.0)(0,rBRBA讨论如下：阶子式中任取一个。在阶子式全为中所有的知，由如果,101rR(A)0,rDrBrA。阶子式，于是的是行，则中不含有第如果0D1Di)1(rAD。故仍有阶子式相等，中对应位置的与两行，则，中同时含有如果0D1Dji)2(rAD行，行，不包含第中包含第如果ji)3(DjninjijikaakaakaaD2211iniiaaa21jnjjaaak2121kDDR(A).120326421321求A120264132,123262131,103242121,203642321都为零例1解：A的子式的最高阶数是3，A的所有3阶子式都为零，即2)(060321A3.R(A)AR所以中有一个二阶子式又故00000010002021031101A。故差一个符号，于是同，故仅可能子式仅行的次序可能不阶中的某一个与中无重行，故而阶子式，故的是因0;0D1ADD;01D22211DrDrA)(R(B)01BARrr故，阶子式全为的所有综上所述，)(R(A)).()(ABBRBRAR由此得又有，故也可经过消法变换化为同样，型阵）矩阵告诉我们：任一第一节定理和列的换法变换经有限次初等行变换BBCEAAnmr(001)(0001标准型的推论进一步指出：定理经有限次初等变换IEArrIRBRAR)()()(的秩，故因初等变换不改变矩阵定义21设A为m×n矩阵，如果R(A)=min{m,n},称A为满秩矩阵；如果R(A)min{m,n},称A为降秩矩阵。定理6用满秩方阵乘矩阵不会改变矩阵的秩。推论两个满秩方阵的乘积仍为满秩方阵。阶满秩方阵。满秩方阵和阶分别为矩阵，为设n,mAmQPn得到由定理。121lPPPP)()()(21ARAPPPRPARl)()(ARAQR同法可证得之积，即等矩阵可表示为有限个初可逆满秩，故因lPPPP,,,,PP21证明：)}.(),(min{)(BmABRARABRnll则矩阵，是矩阵，是设,)(,rR(A)21rBR设00011rEI00022rEI使阶可逆阵与逆阵阶可阶可逆阵知，存在由定理,n,Q,m32211QPlP定理7的标准形分别为则矩阵BA,证明：110001QEPAr220002QEPBr221100000021QEPQEPABrr于是121122111121,PPPQQQPQ分块成为分别将2121121111211111000000Q21QEPPQQEPABrlPlrrr矩阵，则是矩阵，是其中21111121111100000QPQPQPQP)000()(Q211111211111QPQPRABRrrP矩阵。于是是其中)000(1111PQR)}(),(min{},min{21BRARrr2例nBRARmnBns)()(R(AB)A阵，证明：阶矩是阶矩阵，是设使得阶可逆方阵和阶可逆方阵，故存在设Q,nPsrR(A)111000AEAQPrQPA1A即)()(AB11QBPABQPA于是可得证：)()(QP,BRQBR都是可逆矩阵，所以因为)()()(11QBARQBPARABR阵。从而有为阵，为其中令矩阵mrnCmrCCCQB)(,212100001211CCCEQBAr)()0()(111CRCRQBAR显然)()()(21CRCRQBR)()()(11CRQBARABR于是nARBR)()(rnCR)(1nrQBR)(3例nBRARnB)()(0,ABA那么阶方阵，如果均是，设，使得和矩阵阶可逆，则存在两个设证QPnRrA)(QEPAr000QBEPABr000从而有0000,0QBEPABr故又因为)1(0000,,1QBEPPr有上式两边左乘可逆又因为）式有代入（阶矩阵，将是阶矩阵，是其中令1)(,2121QBnrnBnrBBBQB)2(0000121BBBEr0211B）式有）和（比较（2210BBBQB因而可知220)()(BRBRQBRBRQ的可逆性有注意到nBRARAB)()(0时，有故当)(ARnrn4例时当时当时当证明：的伴随矩阵，阶方阵是设1-nR(A),01-nR(A),1nR(A),)R(AA**nAn可逆，时，）当（AnR(A)1nAEAAAAA**得由从而EAAAA*,0证：nAR)(*故阶子式不为零，中至少有一个时，）当（1-nA1-nR(A)2由前例知从而知另一方面，由,0A0,1-nR(A)*EAAA.1)R(A0A**，所以中至少有一个元素不为那么,0,01*nAAA所以因为nARAR)()(*。所以因为1)(,1)(*ARnAR。，因此子式全为阶的所有时，）当（0A01-nA1-nR(A)3*）结论得证）、（）、（综上（3210)R(A*从而1)(*AR故