4第四章统计物理学基础

第四章统计物理学基础4-1统计物理的基本概念一、物质的微观模型热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。外界：热力学系统以外的物体。微观粒子体系的基本特征(1)分子(或原子)非常小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力--分子力.(4）分子或原子都以不同的速率不停地运动。(3）分子之间存在相互作用力--分子力。0rr为斥力且增加时f急剧增加r0rr为平衡态，f=00rrr为吸引力且增加时f先增再减少注意d可视为分子力程；数量级在10-10--10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。d分子力是电性力，大大于万有引力。frmr0rd宏观量——状态参量描写热力学系统宏观状态的参量。如压强p、体积V、温度T等。微观量描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是平衡态。设一容器，用隔板将其隔开当隔板右移时，分子向右边扩散平衡态:在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：•平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。•平衡态是一种热动平衡状态方程RTMMpVmol理想气体气体的摩尔质量气体质量molMMmol/J.R318普适气体常量po),,(111TVpI),,(222TVpIIV0),,(TVpf物态方程(状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例.扔硬币从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法伽尔顿板大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。统计规律和方法伽尔顿板小球数按空间位置分布曲线四、统计的基本概念1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。NNAPANlim)(概率的性质:(1)概率取值域为1)(0AP统计规律特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)(NNAPiAiiii几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和)()()(BPAPBAP(4)二相容事件的概率等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP2.概率分布函数随机变量在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。1.离散型随机变量取值有限、分立表示方式SSPPP21211),2,1(01SiiiPSiP有2.连续型随机变量取值无限、连续随机变量X的概率密度dxxdPx)()(变量取值在x—x+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。1)(dxx又称为概率分布函数（简称分布函数）。)(X3.统计平均值算术平均值为NNNNiiiii统计平均值为iiiNiiiNPNNNN)(limlim对于离散型随机变量随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值乘积的总和。i对于连续型随机变量统计平均值为dxxxx)(“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为333222111MVpMVpMVp使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余xTMVp111TMVp222TMVp333分别对它们列出状态方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol33322211123131xMMMVV22131231VpV)pp(MMMx天6940013210130.)(4-2理想气体的压强温度和内能一、理想气体的微观模型和统计假设1.理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。分子所受重力忽略不计理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。2.统计假设①分子数密度处处相等；cbannn②分子沿各个方向运动的几率均等。即：分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。abc222231vvvvzyxNvNvvvin//)(2222212v二．理想气体的压强公式一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m)xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。xy1lO2A1Aixmvixmvi分子动量增量ixixmvp2i分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与A1面碰撞的时间间隔ixv/lt2单位时间内i分子对A1面的碰撞次数121l/vt/Zix单位时间内i分子对A1面的冲量122l/vmvixixi分子对A1面的平均冲力122l/vmvFixixix所有分子对A1面的平均作用力NiixNiixxvlmFF1211压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132212ixNiixvNvnlllN3212ixvnmp222231vvvvzyx2231vnmvnmpx——分子的平均平动动能221vmw平衡态下wnp32TNRnRTmNNmVpAA1三、分子的平均平动动能与温度的关系RTMMpVmol玻尔兹曼常量12310381KJ.NRkAnkTpwnp32kTvmw23212温度是气体分子平均平动动能大小的量度例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：222111)1(TVpTVpKTKTVV450177273,30027273,2:2121由已知12211221233004502pVVpTVTVpkTw)(232J.)(.)TT(k气体分子的方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332kTvmw23212气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv2molM/v121.自由度确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、能量按自由度均分定理xzy),,(zyxC单原子分子平动自由度t=33rtixzy),,(zyxC双原子分子平动自由度t=3转动自由度r=25rtixzy),,(zyxC三原子或三原子以上的分子平动自由度t=3转动自由度r=36rti实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动二、能量均分定理kTvmw23212222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有个t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能kTt2平均转动动能kTr2平均振动动能kTs2注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外，还有一份平均势能。结论：分子的平均总能量skTkTsrt21)(21kTsrt)2(21对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为kTikTrt2)(21五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2(一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2温度改变，内能改变量为TRiMMEmol2例就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在1摩尔空气中N2质量kg.%.M331101227610928摩尔数789028122111..MMnmolO2质量kg.%.M332106562310928摩尔数208032656222..MMnmolAr质量kg.%.M333102890110928摩尔数0070402890333..MMnmol1mol空气在标准状态下的内能RT)ninini(RTniRTniRTniE33221133221121222J31068527331800703208057890521..)...(平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出耒，尔后被实验证实。4-3麦克斯韦分子速率分布率一、分子速率分布的实验测定测定分子速率分布的实验装置ABSPPG分子源真空室狭缝圆筒子射到上面的各种速率分可沉积弯曲玻璃板,G圆筒不转，分子束的分子都射在P处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置兰媚尔实验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。)/(smvNN/90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0实验数据的图示化6.2%12.8%6.2%4.0%00vNN090140190240290340390vvOvNNvOvNNNdvdN)v(fvOvpv面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率NdNdvNdvdN速率分布函数速率分布曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积=出现在v~v+dv区间内的概率dvvfNNvv21)(分子出现在v1~v2区间内的概率1)(0dvvf曲线下的总面积恒等