固体理论讲义六

超导电性的微观理论1、基本性质超导电性：低温下直流电阻消失的现象称为超导电性*目前发现一半以上的金属和成百上千种合金是超导体。但它们的转变温度Tc一般很低，直到20世纪80年代中期未超过30K。*1986年，J.D.Bednorz和K.A.Müller发现高温超导体以来，人们发现一系列新的超导体。加压）K160(1331251109240832210322210322263242KTOCuCaHgBaKTOCuCaBaTlKTOCuCaSrBiKTOCuYBaKTCuOSrLacxcxcxcxcxxKTFeAsKTMcc50~39gB2基超导，液氮的温度为~77K。超导体的基本属性可由下列3个特征表示1.超导态是一种新的凝聚态TTc时，比热容不再与T成线性关系，变为指数式的温度关系。TTc时，超导态的自由能比正常态低，因为必须加磁场Hc才能破坏超导性，使金属恢复电阻，回到正常态。Hc称为临界磁场。])/(1)[0()(2cccTTHTH超导态2.存在能隙根据量子力学，单电子可以穿透势垒，其隧穿电流应与外加电压成正比对于超导体，TTc时，V必须大于/e才有隧道电流。超导体正常金属氧化物绝缘体V超导体说明超导相中激发出一个准粒子至少要能量，即存在能隙。3.迈斯纳效应在超导态弱磁场不能透入宏观样品内部，超导体对于弱磁场是完全逆磁体。第一类超导体*如果在超导态弱磁场可以透入宏观样品内部。第二类超导体Bardeen、Cooper和Schrieffer于1957成功解释了第一类超导体的超导性。BCS理论认为，电子间通过交换虚声子产生超导基态，费米面附近相反动量和自旋的电子对通过吸引互作用形成束缚电子对状态。称为Cooper对组态超导体2、BCS约化哈密顿量*电子交换虚声子的有效互作用222,,,,,,,,,)()(2||211111122221112121qkqkqqqkkkqkqkqkkkqeffEEDVCCCCVH在费米面附近能壳内，，有效势为吸引势DqkqkEE||110,1qkV在能壳外，，有效势为排斥互作用。0,1qkVD是德拜频率3333/12333213634)2()2(*TLDDDDcccckVNkkVN其中DDDg09)(32态密度：eVD210~由于声学模声子的最大密度在附近，那么可以将中厚度随变化的吸引区近似用费米面附近厚度为的固定能壳区代替。DqkV,1qD2*此外，金属中电子还存在直接库仑作用，可以用屏蔽库仑势表示112222112121,,,,,,,222421kkqkqkkkqcoulCCCCqeH两电子间净的相互作用势1122221112121,,,,222,,,,)4(21'kkqkqkqkkkqCCCCqeVHBardeen等人认为在能壳外排斥相互作用可以略去。D2可设为常数-V，V为正量112222112121,,,,,,,21'kkqkqkkkqCCCCVH.0||11VEEDkqk区内其中仅在这一假设为V与取向无关，相当于取各向同性的s波散射近似。两电子在散射后总波矢守恒设21kkK112121112121,,,,,,,21'kkKqkKqkkkqCCCCVH令',,,'211kkqkk,',',','',,',''2'kkKkKkkkKKKCCCCVHHH代表系统中总波矢为K的电子对间相互作用。不同的K，具有吸引作用的电子对数目不一样，由阴影区绕K轴转成的体积决定的项。可略去得多。电子对占有的相体积大比，电子对占有最大相体积显然，000KKK只取K=0电子对项的电子间的相互作用,',',','',,',2'kkkkkkCCCCVH代表准动量相反的电子对的吸引互作用。由于泡利不相容原理将限制自旋平行电子在位置空间靠拢，因此，’=项的贡献比’=-项小，也可略去。,,,',',',2'kkkkkkCCCCVH总的哈密顿量,,,',',',,,,^2kkkkkkkkkkCCCCVCCEH经整理后得kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH''',^(这就是BCS理论用于描述超导基态的哈密顿量其基本假定是，在费密面附近准动量和自旋都相反的电子之间的吸引互作用是产生超导凝聚的主要原因），代表（），，代表（令kkkk则BCS的哈密顿量简化为kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH''',^)(BCS约化哈密顿量kkkkkkkkkkkkFCCCCVCCCCNEHH''',^^)(其中FkkEE代表从费米面算起的自由电子能量。约化哈密顿选用的理由是在超导问题中，粒子数不守恒^^NEHHF相当于用热力学势代替自由能讨论粒子数可变系统3、Cooper对费密球外一对动量和自旋相反的电子之间只要存在净的吸引互作用，不管它多弱，都能形成束缚电子对，即Cooper对。两个束缚电子对的能量为的态密度为费米面上某自旋取向)0(,])0(2exp[2gVgEDE0说明两个电子形成了束缚态。电子对形成束缚态的能量比费米面上一对自由电子的能量低。表明存在吸引互作用时，费米球不再稳定，电子将由于形成Cooper对获得能量。超导基态应由Cooper对组成。为Cooper对的结合能，拆散Cooper对需要能量|E|,当V0时，E不能展开为V的幂级数，说明Cooper问题不能用微扰论求解超导问题不能用微扰论求解])0(2exp[2VgEDCooper对的尺寸利用测不准关系：对的半径为Cooperpcc~cmEkEEpFFFc410~||~||~~量级。为电子伏级，eVEcmkEFF41810|~|,10~显然，Cooper对的尺寸大约是晶格常数的一万倍。因此，Cooper对内存在许多电子对，它们的运动是相关联的。描述电子运动相互关联的空间尺寸，称为相干长度)0(0Fv是超导体的零温能隙)0(与Cooper对的尺寸相当相干长度0对超导体的电磁性能有重要影响4、BCS超导理论J.Bardeen,L.N.Cooper,J.R.Schrieffer,Phys.Rev.,103,1175(1957).由于Cooper证明了吸引互作用使费米球改组，形成k与-k电子的束缚态。Bardeen,Cooper,Schrieffer设想超导基态是电子按照Cooper对分布的状态他们认为，由于费米球改组，在k空间中任一对状态k与-k电子的占据情况均应当由变分极值条件决定。0||0minH其中BCS超导基态的变分试探函数1|)(0|22kkkkkkkvuVacCCvuvk占据几率，uk未占据几率他们得出了超导态的本征能量及波函数，解释了低温超导现象。这里介绍简单的自洽场近似法求BCS约化哈密顿的本征函数和本征值（其实质与BCS变分法相同）便于推广到T0和空间非均匀等情况这里介绍简单的自洽场近似法求BCS约化哈密顿的本征函数和本征值（其实质与BCS变分法相同）*根据Cooper对组成超导基态的想法，假定下列对算符的超导基态平均值存在：00||000||0kkkkkkkkCCCCCCCC将对算符写成)()(kkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCCCCCCCC将对算符写成为小量}{)()(''''''',''',kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCCCCVCCCCCCCCVCCCCH取一级近似自洽场近似（SCFA）的哈密顿量kkCC由于必须求出超导基态后才能最后求得，所以称自洽场近似。*定义kkkkkkCCCCV*,为复量，为简单起见，仅考虑为实量：VCCCCCCCCHkkkkkkkkkkk/)()(2由于相当于“对算子”的外势场，所以又称为对势。“对算子”利用玻戈留玻夫正则变换可将以上哈密顿对角化kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvuCvuCvuCvuC,,)()0(22kkkkkksEH变换后：其中基态能量：VvuvEkkkkkks2222)0()()1(21)1(212222FkkkkkkkkkkEEvu其中：代表超导的元激发能量玻戈留玻夫正则变换（算符满足反对易关系）说明从费米面激发一个准粒子至少需要能量，它代表元激发的能隙。1.能隙的计算T=0K时的，可通过元激发算子对基态的自洽平均来决定，由于此时无准粒子激发：kkkkkkkkkkkkkkkkkVvuVvuvuVCCV210|)(|0）（能隙方程向的态密度。为费米面上一种自旋取其中，)0()0(121102222gdVgVDkkk最后求得])0(1exp[2DVg量级。约为那么，对于金属，eVeVVgD421010~,3.0~2.0~)0(2.凝聚能E（0）k22222222)0(kkkkkkkkksVvuvE基态能正常态费米分布能量FkkknE2)0(凝聚能)()0(2111))(0(22)0(2(2222222)0()0(22202222222222DDDFkkkkkkkkkkkkkkkkknsggdgEEEEDFFF因为）空穴对称性因为电子说明凝聚能量为负，超导基态能量低于正常态能量，因此，必然发生超导相变3.BSC基态超导基态应当是准粒子消灭算符k和-k的的真空态。00|0|kk不难验证，态Vackkk|满足基态条件式00],[kkkk因为反对易关系因此0|)(|)(|'''''''''VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk类似的0|)(|)(|'''''''''VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk由于kkkkkkkkkkCvCuCvCu,超导基态VacCCvvuVacCCvCCvuVacCvCuCvCuVackkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk|)(|)(|)()(|22由于kkkvu对于正常态=0，上式变为正常相的费米球分布态：VacCCFFkkkk||*再将超导基态归一化0|0=1，得到归一化的超导基态VacCCvuFkkkkkk|)(0|BCS超导基态假定的证明若对电子的占据数算符求基态平均：20|))((|