1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-3

返回后页前页§3泰勒公式多项式函数是最简单的函数.用多项一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式要内容,也是数学的研究课题之一.式来逼近一般的函数是近似计算的重返回返回后页前页)(xf设在0xx处可导,)())(()()(0000xxoxxxfxfxf当||0xx充分小时,)(xf可以由一次多项式))(()(000xxxfxf近似地代替,其误差为)(0xxo.一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式问题:是否存在一个n次多项式),(xPn使得?))(()()(nonxxoxPxf返回后页前页设0100()()(),nnnPxaaxxaxx则000102(),(),()2!,,nnnPxaPxaPxa,!)(0)(nnnanxP即000012()()(),,,,1!2!nnnPxPxaPxaa()0().!nnnPxan返回后页前页设f(x)在x0处n阶可导.称多项式000()()()()1!nfxTxfxxx)2(()00()().!nnfxxxn为f(x)在点x0的n阶泰勒多项式,称为泰勒系数.()0()(0,1,,)!kfxknk则不难得到:,,,2,1,0),()(0)(0)(nkxPxfknk)1(返回后页前页定理6.8设f(x)在x=x0处有n阶导数，则,))(()()(0nnxxoxTxf即200000)(!2)()(!1)()()(xxxfxxxfxfxf).)(()(!)(000)(nnnxxoxxnxf)3(返回后页前页定理6.6满足：和若函数gf000(i)lim()lim();xxxxfxgx00(ii)()xUx在点的某空心邻域内两者均可导，0();gx且0()(iii)lim,.()xxfxAAgx可以为实数，则00()()limlim.()()xxxxfxfxAgxgx返回后页前页也不能说明)(xPn一定是f(x)的n阶泰勒多项式.,0)(,)()(1xPxxDxfnn比如注10)(xxf在点即使附近满足)4())(()()(0nnxxoxPxf).)(()()(0nnxxoxTxf注2若f(x)在点x0有n阶导数,则只有惟一的多项式(泰勒多项式Tn(x))满足:返回后页前页注3可以证明对任意一个n次多项式,)(xPn存在),(0xU使得).(,|)()(||)()(|0xUxxPxfxTxfnn这也就是说,)(xTn是逼近)(xf的最佳n次多项式.在以后的应用中,公式(3)中的x0常被取作0,形)(!)0(!1)0(')0()()(nnxonfxffxf).(!)0(0)(nnkkkxoxkf此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.式变为返回后页前页麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)返回后页前页例1验证下列公式2e1();1!2!1.!nxnxxxoxn32112sin(1)();3!(21.)2!mmmxxxxoxm2221cos1(1)();2!(2)!3.mmmxxxoxm231ln(1)(1)();234.nnnxxxxxoxn返回后页前页211(6..)1nnxxxoxx2(1)(1)152!.xxx);(!)1()1(nnxoxnn返回后页前页例2求22()exfx的麦克劳林公式,并求)0()98(f.)0()99(f与x1例3求在点1x的泰勒公式.解)]1([11)1(111xxx21(1)(1)xx(1)(1)((1)).nnnxox2e1();1!2!!nxnxxxoxn利用211().1nnxxxoxx利用返回后页前页利用泰勒公式来求极限.例4求22330ln(1)esin1lim.xxxxx解因为),(2)1ln(4422xoxxx2424e1(),2!xxxox333sin(),xxox返回后页前页所以22330ln(1)esin1limxxxxx3330()lim1.xxoxx返回后页前页定理6.9(泰勒定理)若函数],[)(baxf在上存在直到n阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数,则200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx()(1)1000()()()(),(5)!(1)!nnnnfxfxxxxnn或者(1)10()()()().(1)!nnnffxTxxxn0,[,],(,),xxabab对存在使其中nxxfxTn的在点是0)()(阶泰勒多项式.泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的返回后页前页定理6.5(柯西中值定理)设函数,在区间)(xf)(xg],[ba上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;(iii);0)()(22xgxf(iv).)()(bgag则在开区间内必定(至少)存在一点,使得),(ba(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;()()().()()()ffbfaggbga返回后页前页证设2()()()()[()()()1!2!ftftFtfxftxtxt;])(!)()(nntxntf,)()(1ntxtG不妨设00(),()[,]xxFtGtxx，则在上连续,在),(0xx上可导,且0()(1)()0,[,).nGtnxttxx返回后页前页由柯西中值定理,得0000()()()().()()()()FxFxFxFGxGxGxG因为(1)()()(),!nnftFtxtn所以(1)1()()().(1)!nnfFtxtn),,()[,)!1()()()(0,0)1(baxtnftGtFn返回后页前页为f(x)在点x0的n阶拉格朗日型余项,公式(5)于是就得到0,tx令(1)10()()()().(1)!nnnffxTxxxn我们称(1)10()()()()()(1)!nnnnfRxfxTxxxn称为f(x)在点x0的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式..)()!1())(()(1000)1(nnnxxnxxxfxR(01),返回后页前页当00x时,公式(5)成为2(0)(0)()(0)1!2!fffxfxx()(1)1(0)().(6)!(1)!nnnnffxxxnn公式(6)称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。返回后页前页21ee1,2!!(1)(!i)nxxnxxxxnn(01,(,)).x3211sin(1)3!(1!i)2(i)mmxxxxm21cos(1),(01,(,)).(21)!mmxxxm242cos1(1)2!4!(2)!(iii)mmxxxxm,)!22(cos)1(221mmxmx(01,(,)).x例5把例1中公式改写为带有拉格朗日型余项的公式:返回后页前页231ln(1)(1)3(iv)2nnxxxxxn11(1),(1)(1)nnnxnx(01,1).x2(1)(1)(12!v)xxxnxnn!)1()1((01,1).x11(1)()(1),(1)!nnnxxn返回后页前页12211,1(1)(vi)nnnxxxxxx(01,1).x于是(0)1,(0)0,(0)1,(0)0,ffff()cos,fxx设则0,1,2,.k()π()cos(),2kfxxk返回后页前页,0)0(,)1()0()12()2(mmmff(22)1()cos((1))(1)cos.mmfxxmx从而有)!2()1(!4!21cos242mxxxxmm.cos)!12()1(221mmxxm返回后页前页例5(1)计算e的值,使其误差不超过.106(2)证明e是无理数.解由例5可知11ee11,01.2!!(1)!nn所以误差因为,3e2,106933(1)10.10!3628800R三、泰勒公式在近似计算中的应用返回后页前页于是11e22.718285,2!9!11e!e!(11).(7)2!!1nnnne(,)1.ppqnqq倘若是有理数取是的倍数，下证e是无理数.这是因为其误差不超过.610返回后页前页矛盾.所以e是一个无理数.那么不是整数.而由(7)式得到e1n3,n且e1n整数整数整数,返回后页前页复习思考题阶泰勒多项式，的在是若nxxfxTn0)()(.1?7.2说明了什么例那么,在什么条件下Tn(x2)一定是f(x2)的2n阶泰勒多项式?