Maple在微积分上的应用

Maple在微積分上的應用教授：蔡桂宏博士學生：施凱晏學號：9535607195503統資軟體課程講義Letusstart!!!!報告大綱：函數與極限導數與導函數導數的應用積分積分應用與技巧第一章函數與極限1.1函數1.2函數的運算1.3極限的基本概念1.4Maple的極限計算法1.5函數的連續性1.1函數(1)偶函數與奇函數：如果，則稱f為偶函數(evenfunction)。若，則稱f為奇函數(oddfunction)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱於原點。EX:(2)片段函數(piecewisefunction)：Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下:piecewise(cond1,f1,cond,f2,…,condn,fn,otherwise)若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預設值為0。EX:()()fxfx()()fxfx22,x-1()x+1,x0xfx1.2函數的計算(1)函數的合成：以函數g合成f，而產生的函數f(g(x))稱為合成函數(compositefunction)，記為f。g。因此(f。g)(x)=f(g(x))。而Maple以小老鼠符號@來代表。EX:合成函數也可以由片段函數組成。EX:,而，試以Maple求出(f。g)(x)5,x0()-x,0x8x,x8xfx3()gxx1.3極限的基本概念極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。(1)極限的直觀介紹:考慮，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。EX:(2)夾擠定理(squeezetheorem):定理:設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x)f(x)h(x)，若則EX:以函數圖形來說明夾擠定理意義，sinx()xfxlim()lim()lim()xaxaxagxhxLfxL||sin(1/)||xxxx0limsin(1/)0xxx1.4Maple的極限計算法(1)Limit&limit:計算函數的極限值。趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、-infinity。EX:EX:limit指令也可以用來求解片段函數的極限值。xalimit(f(x),x=a,dir)limf(x)dirLimit(f(x),x=a,dir)，指定由的方向趨近保留極限的原式，不做任何計算sinxx3,2()62,2xxfxxx1.5函數的連續性(1)連續性:定義函數的連續:如果(1)f(a)有定義，(2)存在，而且(3)，則稱函數f(x)在x=a為連續。EX:利用Maple來判別函數是否連續。(2)Maple有關測試函數連續性的指令:EX1:EX2:lim()xafxlim()()xafxfa()x-2xfxdiscont(f(x),x)iscont(f(x),x=a..b)abf(x)FAILiscont(f(x),x=a..b,closed)找出於實數軸上，所有不連續的點測試於區間到之間，函數是否連續。若無法判斷，則回應測試的區間ab包含與兩個端點(3)介值定理(theintermediatevaluetheorem):定理:如果函數f於閉區間[a,b]連續，且，則於閉區間[a,b]至少存在一數c使得f(c)=N。由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間[a,b]連續且f(a)*f(b)0(亦即f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間[a,b]內至少存在一解c使得f(c)=0。EX:()()faNfb第二章導數與導函數2.1導函數與導數2.2導函數的求法2.3Maple的微分指令2.4鏈鎖律2.5高階導函數2.6隱微分法2.1導函數與導數(1)導函數:f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。定義導函數:函數f(x)的導函數定義為，而的定義域為使得該極限存在的所有x所組成。EX:0()()'()limhfxhfxfxh'()fx0220h0()()'()lim(x+h)+3(x+h)-4-(x+3x-4)=lim=......=lim(2x+h+3)=2x+3hhfxhfxfxhh(2)導數:定義導數:函數f(x)在x=a的導數記為，亦即。若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即則稱f在x=a可微分(differentiable)。●一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況:1.函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX:2.函數於x=a不連續(斷點)。3.函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為)。EX:EX:可微分例子。'()fa0()()'()limhfahfafah00()()()()'()limlimhhfahfafahfafaLhh2.2導函數的求法(1)乘幕律(powerrule)若n為正整數，則。EX:(2)和與差的公式:若f與g為可微分函數，則EX:試求的導函數。1()nndxnxdx(()())()()dddfxgxfxgxdxdxdx3643xx332(643)(6)(4)3=...=18x4ddddxxxxdxdxdxdx(3)積的公式(productrule):若f與g皆為可微分函數，則(4)商的公式(quotientrule):若f與g皆為可微分函數，且g(x)≠0，則EX:設，試求。到目前為止，皆以導函數的定義式來計算函數的導函數。事實上，Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分。(()())()()()()dddfxgxfxgxgxfxdxdxdx2()()()()()()()()ddgxfxfxgxdfxdxdxdxgxgx22()x1xfx'()fx2222241'()()...1(1)dxxxfxdxxx2.3Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處裡函數的微分。diff是用來計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用來求出運算子的微分式。(1)微分指令diff:EX1:diff指令的用法EX2:Diff指令的用法p.s:數學上慣用以來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函數，則習慣上以來表示f對x的偏微分(partialdifferentiation)。Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號來取代慣用的。ddiff(f(x),x)f(x)dxDiff(f(x),x)計算微分式保留微分的原式，不對微分式求值。dfdxfxxddx(2)微分運算子:Maple的內建函數如sin,cos,abs與sqrt等皆為函數運算子，而函數運算子加上引數(如:sinx,cosx…等)即成為一個標準函數。定義函數運算子D():D(f):求函數運算子f的一階微分運算子EX:內建&自定函數運算子2.4鏈鎖律定義鏈鎖律:設g在x可微分，且f在g(x)為可微分，則合成函數f。g在x為可微分，且廣義的成幕律:若f(x)為x的可微分函數，則EX:()'()'(())'()fgxfgxgx1()()()nnddfxnfxfxdxdx2.5高階導函數Maple計算二階以上之導函數的指令與一階相同，只是語法稍有不同。下面列出了diff指令與微分運算子D在二階以上之導函數的用法。EX:nnddiff(f(x),x$n)diff(f(x),[x$n])f(x)dx(D@@n)(f)fn或計算微分式計算函數運算子的階導函數f(x)=xsinx2.6隱微分法如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的形式，則前幾節所介紹的微分法便不適用，因此必須嘗試隱微分法來求得函數f的微分。EX:顯然地，上式無法把它表示成y=f(x)的形式，那麼如何求出?Sol:EX:設，利用隱微分法求。23x2yxydydx2322dd(x+y)=(2x+y)(x)dxdxdydy2x+3y=2+(yx)dxdxdy:dxdy2(1-x)=dx3y-1把等號兩邊對做微分視為的函數把當成一個變數並求解之，即可得22x43y22dydx事實上，Maple提供了一個簡單的implicitdiff指令，可以更方便的計算函數的n階隱微分。前EX:EX:nndyimplicitdiff(f(x,y)=0,y,x)f(x,y)=0dxdyimplicitdiff(f(x,y)=0,y,x$n)ndx求方程式的隱微分求階隱微分23x2yxy第三章導數的應用3.1函數圖形的判別3.2極大值與極小值3.1函數圖形的判別函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數來判別。下面介紹(1)函數的遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。(1)函數的遞增遞減：EX:x1x2x1x2f(x1)f(x2)f(increasing)f(x1)f(x2)f(decreasing)若含數定義於某區間，設與為該區間內的任意兩點，且。若，則在該區間為遞增，反之，若，則在該區間為遞減。函數的遞增與遞減區間可由該函數的一階導函數的正負值來判斷。'':(a)f(x)0(a,b)f(x)(a,b)(b)f(x)0(a,b)f(x)(a,b)定理函數的遞增與遞減如果在區間成立，則在區間為遞增。如果在區間成立，則在區間為遞減。32f(x)=x-3x+1試求函數的遞增與遞減區間。'f(x)=0x(criticalvalue)在數學上，使得的值稱為臨界值，且函數會在臨界值處改變其遞增與遞減的區間。(2)函數圖形的凹向性：若要知道函數圖形凹向上(concaveupward)或凹向下(concavedownward)等幾何上的性質，則必須求助二次導函數。EX:''''00'''':(Concavity)(a)f(x)0x(a,b)f(x)(a,b)(b)f(x)0x(a,b)f(x)(a,b)(inflectionpoint)(x,f(x)):1.f(x)=02.f(x)定理函數圖形凹向性如果在區間成立，則在為凹向上。如果在區間成立，則在為凹向下。在數學上，圖形改變凹向性的點稱為反曲點。反曲點存在於下列兩種情形不存在32f(x)=x-3x+1Maple:(a)f(x)??(b)f(x)設函數，試以的運算來回答下列問題在何處為凹向上何處為凹向下試求的反曲點。3.2極大值與極小值EX:Maplestudentminimize&maximize:minimize(expr,vars,range)range()exprmaximize(expr,vars,range)range()exprminimizerange的程式庫裡提供了兩個求解極值的指令，以方便找出函數的極大值與極小值。於範圍內含端點，求出的極小值於範圍內含端點，求出的極大值在指令中，若未設exprminimizerangeminimizeexprminimizemaximize定，且為一多項式，則回應函數所有相對極小的最小值，但並不一定是絕對極小。此外，若設定了，會檢查左右兩個端點，在與所找到的相對極小值做比較，然後回應絕對極小。但是若不是多項式，可能會錯失真正的極小值。因此，最好先畫出函數圖，判斷函數的極值所在，再以極值指令求解。用法相同。第四章積分4.1不定積分4.2Maple的積分運算4.3代換積分法4.4定積分:曲線下的面積4.5面積的估算4.6微積分基本定理4.1不定積分把函數f微分，可以得到它的導函數f’。若已知一函數的導含數為f’，則求其反導函數(anti-derivative)的過程稱為反微分(anti-differentation)。E