1氢原子的薛定谔方程

1.氢原子的薛定谔方程reU024氢原子中电子的势能函数0)4(20222ΨreEmΨ定态薛定谔方程222zyxr为使求解的问题变得简便,通常采用球坐标。),,(rxyzθφr电子原核子§18-9量子力学中的氢原子问题拉普拉斯算符变为：22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr设波函数为)()()(),,(rRr代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常微分方程。在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。氢原子（1）能量量子化同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认为的假设。在求解得到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR22220422202416.1318132nnhmenmeEn,3,2,1n称为主量子数n氢原子n=1基态能量eV6.131EeV6.131EEn=2,3,…对应的能量称为激发态能量eV40.32EeV51.13E当n很大时，能级间隔消失而变为连续。对应于电子被电离，氢原子的电子电离能为：n当，0En11E232E3E454EE氢原子说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的。（2）轨道角动量量子化和角量子数处于能级的原子,其角动量共有n种可能值，即,用s,p,d,…表示角动量状态。nEl=0,1,2,...,n-1()在求解角量为变量的函数所满足的方程时，进一步得到角动量量子化的结果。,称为角量子数，或副量子数。l)1(llL)1(,3,2,1nl氢原子氢原子内电子的状态n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s氢原子（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数,lzmLlml,...,2,1,0称为磁量子数。对于一定的角量子数可以取个值。lmlml,)1(2l氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向为轴，角动量在轴上的投影只能取zLzz氢原子)(zBo226L2l角动量的空间量子化氢原子例19-10设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向。解：2p态表示n=2,l=1。得eV40.3eV26.1322E角动量的大小为2)1(llL当l=1时，ml的可能值是-1,0,+1，角动量方向与外磁场的夹角可能值为：4324)1(arccosllmleV6.132nEn根据氢原子3.氢原子中电子的概率分布要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定态波函数：),()(lmnlnlmYrR称为径向函数；)(rRnl),(lmY称为角分布函数。以下给出前几个函数：02)1()(2300,1arearR0202300,2)2()21()(areararR0202301,23)21()(areararR角分布函数：410,0Y)1cos3(16520,2Ycos430,1YieYsin831,1为玻尔半径0a电子的概率分布drrRRdrrP24)(电子的径向分布概率为)(rP表示电子出现在至的球壳中的概率。rdrr电子的概率分布氢原子中电子径向概率分布电子的概率分布电子的角分布概率由决定。),(lmY与无关，表示角向概率密度对于轴具有旋转对称性2),(lmYz由坐标原点引向曲线的长度表示方向的概率大小氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y电子的概率分布电子的角分布概率由决定。),(lmY与无关，表示角向概率密度对于轴具有旋转对称性2),(lmYz由坐标原点引向曲线的长度表示方向的概率大小氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y电子的概率分布