微积分c 第一节 数列极限

第二章极限与连续§2.1.数列极限§2.2.函数极限§2.3.函数极限的性质及运算法则§2.4.无穷大量与无穷小量§2.5.函数的连续性§2.6.闭区间上连续函数的性质§2.1数列极限一、数列极限的概念二、数列极限的运算三、数列极限的性质四、数列极限的存在性一、数列极限的概念如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;{n21}21,41,81,,n21,;1,-1,1,,(-1)n1,.21,32,43,,1nn;1、数列注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1(,,1,1,11--n})1{(1--n;,)1(,,34,21,21nnn--})1({1nnn--,333,,33,3一、数列极限的概念数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数xn=f(n),nN.2、数列与函数一、数列极限的概念问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn--=观察:例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnn=lim.2、数列极限的一般性描述11lim=nnn,021lim=nn,1)1(lim1=--nnnn.11lim=nnn,021lim=nn,1)1(lim1=--nnnn.问题:“无限接近”如何用数学语言刻划它.一、数列极限的概念当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.一、数列极限的概念3、数列极限的精确定义设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数e,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xn-a|e总成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,axnn=lim或xna(n).或说数列{xn}是发散的,习惯上也说nnxlim不存在.e0,NN,当nN时,有|xn-a|e.axnn=lim•极限定义的简记形式一、数列极限的概念aa-eae()4、数列极限的几何意义•存在NN当nN时,点xn一般落在邻域(a-e,ae)外•当nN时,点xn全都落在邻域(a-e,ae)内任意给定a的e邻域(a-e,ae),一、数列极限的概念10nn11{1}2{-1};(3){3n-2};11(4){};(5){}.n2n11,1,2,1lim1.(2)-1,11nnnnnnnnannaaanaa====-例：考察下列数列在时的变化情况，并用极限形式表示结果。（）；（）（）解：（）是常数列，当时，始终为，故（）则当按奇数增大时，始终为，按偶数增大时，始终为，故{1}(1)nnnna--当时，没有明确的趋势，所以（）的极限不存在，即不存在。一、数列极限的概念11332,1,2,lim3214,1,2,10lim0.(5)4nnnnnnnannnaanannann=-=-===（）当无限增大时，也无限增大，且的趋势不是一个确定的数，故不存在。（）当无限增大时，无限趋于，故同（）。求数列极限的方法：一般是将数列变形，直到我们能观察其趋势为止，故学要学习数列极限的四则运算法则：一、数列极限的概念12无关；与其中）（那么设accaacacbbaannnnnnnn,lim)lim(1,lim,lim====;limlim)(lim2bababannnnnnn==）（;limlimlim)3(abbabannnnnnn==babababbnnnnnnnnn===limlimlim,0lim)4(则若极限的四则运算法则二、数列极限的运算13232321133332123212213211lim,(2)lim,(3)lim(21).3lim(2)22121limlim2.31lim(1)1lim(321(2)limlim1例：求下列列的极限。（）解：（）nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn---====--==2321121)00.lim(1)13(3)lim(21)lim()2133lim.211nnnnnnnnnnnnnnnn-==--=-==-二、数列极限的运算三、数列极限的性质数列极限的性质唯一性有界性保号性夹逼性定理1（唯一性）若数列存在极限，则极限唯一。nunun.................................oA定义称数列为有界的，若存在常数，使nu0M,2,1,=nMunun.................................noMM-定理2（有界性）若数列存在极限，则有界。但其逆不真。nunu三、数列极限的性质定理4（保号性）若，且，则),2,1(0=nunAunn=lim.0A定理3设，且，则存在正整数，当时，恒有Aunn=lim0ANNn.0nunun.................................oA三、数列极限的性质定理5（夹逼性）设，且则),2,1(=nzyxnnn,limlimAzxnnnn==.limAynn=5101520x0.750.80.850.90.95y三、数列极限的性质18222121222nnnnxnnnn=例：求下列数列的极限（）.21lim,2112lim2lim122n,k11222n22n22n2222222===nnxnnnnnnnxnnnnnknnnnn由两边夹定理知解：由于三、数列极限的性质1nnn3323323(),lim3.nnnnnyny===解,32)2(nnnny=三、数列极限的性质20单调数列的定义若数列{xn}满足x1x2…xn…,则称{xn}为单调递增数列.若x1x2…xn…,则称{xn}为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.四、数列极限的存在性四、数列极限的存在性数列极限的存在性定理6定理7定理86limlim().nnknnxAxAkN==定理：2217limlimlim.nnnnnnxAxAxA-===定理：且定理8.单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限.即,单调有界数列必有极限.22例.数列nnnx)11(=是单调递增且有上界的数列.证:首先注意到,当ab0时,有11-nnba))((1221nnnnnbabbabaaba-=---naban))(1(-移项,有1)])(1([--nnbbanaa即1)])1[(-nnbnabna四、数列极限的存在性23(1)取代入,111,11==nbna有,)])1[(1中-nnbnabna1111112)1(11-nnnnnnnnnn即111111nnnn.11是单调递增的故nnnx=四、数列极限的存在性24(2)取代入,1,211==bna,)])1[(1中-nnbnabna有即1212)1(211-nnnnnn2211nn.,2,1,421122==nnxnn从而四、数列极限的存在性25由于nnnx)11(=单调有界,从而必有极限.enn=)11(lim,n记(e=2.71828…,为一无理数).4.11212=-nnnnxxnx有单调递增由于数列..411有上界所以故nnnxnx=四、数列极限的存在性26])ln)2[ln((lim)4()11(lim)3()21(lim(2),)21(lim)1(122nnnnnnnnnnnnnn----练习nnn2)21(lim)1(解：4))21((lim2nnn=4e=1、利用重要极限求下面的极限2712)21(lim(2)--nnn解：12)]21[lim--=nnn（11)21()21(lim2--=--=-ennnn）（练习28)11(lim)3(nnnn-)121(limnnnn-=nnn)121(lim-=)121()121(lim1--=nnnn22)121())121((lim21--=--=-ennnn练习29])ln)2[ln((lim)4(nnnn-2ln2==ennnnnn)21ln(lim))21ln((lim==2))21ln((lim2nnn=))2(ln(limnnnn=练习303222sin1111lim(2)lim()12nnnnnnnn2、用两边夹定理求下面的极限。（）5353465(1)lim(2)lim(1)32nnnnnnn--求下面的极限练习定理.||||lim,lim:axaxnnnn==则若证明证,00,,lim=Naxnne所以因为.||,e-axNnn有时当由绝对值不等式,得,||||||||e--axaxnn.||||limaxnn=故有练习例.)(333的极限存在式重根证明数列nxn=证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331=x又,3kx假定kkxx=3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx=,321nnxx=),3(limlim21nnnnxx=,32AA=2131,2131-==AA解得(舍去).2131lim=nnx练习