微积分上册复习

考试题型：1.选择（2分*5=10）2.填空（2分*10=20）3.求极限（5分*3=15）4.求导数和微分（5分*6=30）5.导数应用：单调性极值；凹凸性拐点（6分*2=12）6.导数在经济学中的应用(7分*1=7)7.证明题（6分*1=6）一：求极限的方法1.恒等变型：因式分解，有理化2()limxxxx例：2.两个重要极限100sin1)1;2)(1)limlimxxxxxex0sin31);2)3sin3limlimnnxnxxx1033)(15);4)()1limlimxxxxxxx3.无穷小量的等价替换1).~sin~tan~arcsin~arctan(0)xxxxxx2).~ln(1)~(1)(0)xxxex2123).(1cos)~(0)xxxtan01cos(1)sinlimxxxex例：4.未定式的洛必达法则''0()(),,0()()limlimxaxafxfxgxgx206000tan12sin1);2)sinsin()6113)ln;4)();5)1limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxe'''''()()()()(log)(ln)axxaCxaexx01aaxlnxaaxe1lnxa1x'''''(sin)(cos)(tan)(cot)(sec)(csc)xxxxxxcosxsinx2secx2cscxsectanxxcsccotxx'(arcsin)(arccos)xx'(arctan)(arccot)xx211x211x211x211x导数基本公式'''''''2''''(()())()()()()()11)(cf(x))();2)(()())()();()()()3)()(4)())fxgxfxgxfxgxfxfxgxfxgxgcfxfxxgxfxggxx.四则运算法则()()((),()[()]).dydyduyxfuxyfuuxdxdudxyfx2.设而则复合函数的导数为或二：求导数和微分'0000000()()()()1.()limlimxxfxxfxfxfxfxxxx'21arctan,0()(0)0,0xxfxfxx例：求22()1sin3;2)lntan;3)(cos);4)fxyxyxyfxye）2.复合函数的链式求导法则3.隐函数的求导法则223xyexy4.幂指函数的对数求导法则21)(sin);2)xxyxyx5.高阶导函数2ln(1),yxy求6.函数的微分：'dyydx7.微分的近似计算：'000()()()fxxfxfxx三：1求极值与单调区间的步骤：⑴求函数的定义区间；⑵求出函数的所有导数为0和导数不存在的点；⑶上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间；⑷列表分析相应的f'(x),讨论单调性、极值情况；⑸写出结论。2()(21)xfxexx(1)求出函数的定义域;(2)求出二阶导数为零或不存在的点;(3)将上述点把定义域分成几个区间,(4)根据各区间内二阶导数的符号,列表讨论凹凸性。2、求函数的凹凸区间和拐点：2ln(1)yxC(q)=20q+500100,qp工厂生产某种产品，成本函数为，需求函数为问：产量是多少时利润最大，最大利润是多少？:()()()(100q)q(20q500)LqRqCq解2q80q500'L(q)2q80=0,q=40L(q)2,L(40)0L(40)110040是函数的唯一极大值点，即最大值点。当产量是40时利润最大，最大利润为1100。四、导数在经济学中的应用五：证明题1、闭区间上连续函数的性质：最大最小值原理；介值定理；零点定理2、RolleTh;LagrangeThCh1-2函数和极限1.求函数定义域211)ln(24)arcsin7xxy2）已知f(x)的定义域为[0，1]，求2()fx的定义域。2.函数的连续性00lim()()xxfxfx2,0()(,)?3cos2,0axeaxfxaaxxx如果在上连续，则3.间断点类型1()arctanfxx1()(1)(2)fxxx（标准：左右极限是否存在）间断点左右极限是否存在第一类间断点第二类间断点都存在至少有一个不存在是否相等相等可去间断不相等跳跃间断可能出现间断的地方：1)使函数无意义的点；2)分段函数的分界点Ch3导数和微分1.导数的定义：'00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx'0000(2)()2,()33limxfxxfxfxx已知则：2.导数的几何意义：切线方程为).)((000xxxfyy11(,2),2.yx求在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程3.奇函数的导数为偶函数；偶函数的导数为奇函数''''()(),(5)1,(5)()(),(2)3,(2)fxfxfffxfxff如果则则Ch4微分中值定理和导数的应用1.RolleTh：:)(满足如果函数xf上连续，在闭区间],[)1(ba内可导，在开区间),()2(ba),()()3(bfaf数值相等，即在区间的两个端点的函(,),'()0.abf则至少存在一点使得abafbff或abfafbf:)(满足如果函数xf上连续，在闭区间],[)1(ba内可导，在开区间),()2(ba(,),ab则至少存在一点使得2.LagrangeTh:3.渐近线lim1()()((.)lim)xxfxbfxbyxbyfb）水平渐近线如果为常数那么就是的一条水平渐近线或000l2().im()lim()xxxxfxfxxxxyf）垂直渐近线：如果那么就是的一条铅直渐近线或3)斜渐近线y=kx+b()limxfxkxlim(())xbfxkx，ln1)1xyx例：2x2)y=2x-10'00000xx00/yxEyxf(x)Ex/xylimxyx4.弹性()=q400100p,p2(2)需求函数为时需求量对价格的弹性