微积分常用公式及运算法则(下册)

同济二版微积分(下)1微积分公式等价无穷小：20,sintanarcsinarctanln(1)1;1cos;2(1)1(0);1ln(0,1).xaxxxxxxxxexxxaxaaxaaa→+−−+−≠−≠∼∼∼∼∼∼∼∼∼当时基本积分表1222222d(1,d)d11dln||1darctan11darcsin1cosdsinsindcos1dsecdtancos1dcscdcotsinsectandseccsccotdcskxkxCkxxCxxxCxxCxxxCxxxCxxxxCxxxCxxxxCxxxxxCxxxxxCxxxμμμ+=+==+=++=+=++=+−=+=−+==+==−+=+=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫时cxC+dd(0,1)lnsinhdcoshcoshdsinhxxxxexeCaaxCaaaxxxCxxxC=+=+≠=+=+∫∫∫∫不定积分线性运算法则[()()]d()d()duxvxxuxxvxxαβαβ+=+∫∫∫不定积分的换元法[]1()()[()]()d()d()d[()]()duxtxfxxxfuufxxftttϕφϕϕφφ−==′=′=∫∫∫积分公式()22222222222222222d1arctandarcsind1arcsin(0,0)d1ln2secdln|sectan|cscdln|csccot|dln(0)dln||xxCaxaaxxCaaxxbxCabbaabxxxaCxaaxaxxxxCxxxxCxxxaCaxaxxxaCxa=++=+−=+−−=+−+=++=−+=++++=+−+−∫∫∫∫∫∫∫∫不定积分的分部积分法dddduvxuvuvxuvuvvu′′=−=−∫∫∫∫或定积分的换元法[,].()(1)(),(),([,])[,]([,])[,];(2)[,]([,])()d[()]()dbafCabxxabababCCfxxftttβαϕϕαϕβϕαβϕβαϕαβϕβαϕϕ∈===⊆⊆′′∈∈′=∫∫设函数如果函数满足：且或或那么：同济二版微积分(下)20[,],()d2()d;[,],()d0aaaaafCaafxxfxxfCaafxx−−∈−=∈−=∫∫∫若并且为偶函数，则若并且为奇函数，则22002002200(sin)d(cos)d(sin)d(sin)dsindcosdnnfxxfxxxfxxfxxxxxxπππππππ===∫∫∫∫∫∫定积分的分部积分法d[]dd[]dbbbaaabbbaaauvxuvvuxuvuvvu′′=−=−∫∫∫∫1,2,3,m=⋯第五章向量代数与空间解析几何向量的运算1．向量的加法()()abbaabcabc+=+++=++2．向量与数的乘法（数乘）()()()()aaaaaababλμλμλμλμλλλ=+=++=+3．不等式||||||||||||ababab−≤±≤+4．单位向量||aaea=空间两点间的距离公式22212212121||()()()PPxxyyzz=−+−+−向量的坐标表示1111222212212121(,,),(,,)(,,)MxyzMxyzMMxxyyzz=−−−以点为起点为终点的坐标方向角与方向余弦222222:cos,cos,cos||||||||.:coscoscos1(cos,cos,cos)yxzxyzaaaaaaaaaaaeαβγαβγαβγ====++++==方向余弦其中方向余弦满足向量的投影,Prj||cos(^)babaab向量在上的投影记为向量的模222(,,)||xyzxyzaaaaaaaa==++向量的模为向量的数量积（点积、内积）||||cosababθ⋅=000aa⋅=⋅=||Prj||Prj:Prj||abaaababbaabbeba⋅==⋅==⋅即(,,)(,,)xyzxyzxxyyzzabaaabbbababab⋅=⋅=++2||()()()()aaaabbaabcabacababλμλμ⋅=⋅=⋅⋅+=⋅+⋅⋅=⋅222222cos(0)||||(,,),(,,),cosxyzxyzxxyyzzxyzxyzabababaaaabbbbabababaaabbbθθπθ⋅=≤≤==++=++⋅++向量与的夹角满足公式其中若则同济二版微积分(下)3(,,),(,,),0xyzxyzxxyyzzaaaabbbbabababab==⊥++=若则的充要条件是向量的向量积(),,,()||||||sin(^)(),,,abababiabababiiababababθθ××=×=××设和是两个向量规定与的向量积是一个向量记作它的模与方向分别是:其中同时垂直于和并且符合右手法则.0000()()()()abbaaaaaabcacbcababλμλμ×=−××=×=×=+×=×+××=×0abab×=的充要条件是()()()yzzyzxxzxyyxyzxyzxyzxyzxxyzxyzabababiababjababkaaaaaaijkbbbbbbijkaaabbb×=−+−+−=++=两向量的向量积的几何意义():||||||sin||(||sin),||():.iabababahhbababiiabababθθ××===×××的模由于所以表示以和为邻边的平行四边形的面积.的方向与一切既平行于又平行于的平面垂直向量的混合积()yzxyzxxyzyzxyzxxyzxyzxyzabcaaaaaacccbbbbbbaaabbbccc×⋅=++=[][][]abcbcacab==,,0xyzxyzxyzabcaaabbbccc=三向量共面的充要条件是平面的方程1．点法式方程0000000(,,)(,,)()()()0MxyznABCAxxByyCzz=Π−+−+−=过点且以为法向量的平面的方程为2．一般方程0(,,),,,,,,(,,)0,0,0,0,0,0,0,AxByCzDABCxyzABCnABCAxByCzDABzBCxCAy+++============三元一次方程不同时为零的图形是平面其中的系数是平面的法向量的坐标即是平面的法向量.特殊的平面：平行于轴的平面；平行于轴的平面；平行于轴的平面；过原点的平面；垂直于轴的平面；垂直于轴的平面；垂直于轴的平面.平面的夹角1212121222222212111222||cos||||nnAABBCCnnABCABCθ⋅++==++++同济二版微积分(下)4121212121112220AABBCCABCABCΠΠ++===平面和相互垂直的充要条件是:相互平行的充要条件是:点到平面的距离0000000222(,,)0||:PxyzAxByCzDAxByCzDdABC+++=+++=++点到平面的距离为直线的方程1．参数方程0000000(,,)(,,).MxyzsmnpLxxtmyytnzztp==+=+=+过且以为方向向量的直线的方程为2．对称式方程（点向式方程）0000000(,,)(,,).MxyzsmnpLxxyyzzmnp=−−−==过且以为方向向量的直线的方程为3．一般方程11111222221211112222111222:0:0(,,),,,,:0,0..LAxByCzDAxByCzDMxyzLxyzAxByCzDAxByCzDABCABCΠ+++=Π+++=ΠΠ+++=+++===直线可以看作两个平面与的交线.空间一点在直线上当且仅当它的坐标同时满足与的方程的下面的直线方程其中不成立两直线的夹角12111122221212121222222212111222(,,),(,,),:||cos||||LLsmnpsmnpssmmnnppssmnpmnpϕ==⋅++==++++直线与的方向向量分别是则夹角公式为121212121112220LLmmnnppmnpmnp++===直线和相互垂直的充要条件是:相互平行的充要条件是:直线与平面的夹角222222(,,),(,,),:||||sin||||LsmnpnABCnsAmBnCpnsABCmnpϕΠ==⋅++==++++直线与平面法线的方向向量分别是则夹角公式为;0.LABCmnpAmBnCpΠ==++=直线和平面相互垂直的充要条件是:相互平行的充要条件是:旋转曲面()()22222222(,)0,,0;(,)0,,0.CfyzzyxyCzfxyzfyzyzxzCyfyxz=±+±+==±+±+=若在曲线的方程中保持不变而将改写成就得到曲线绕轴旋转而成的曲面的方程若在中保持不变而将改写成就得到曲线绕轴旋转而成的曲面的方程二次曲面图形及方程1．椭球面同济二版微积分(下)52222221sincossinsincos[0,],[0,2]xyzabcxaybzcθϕθϕθθπϕπ++====∈∈其中2．抛物面（1）椭圆抛物面22222cossin[0,2],[0,)xyzabxavuybvuzvuvπ+=±===∈∈+∞其中（2）双曲抛物面222222()()4,xyzabxauvybuvzuvxauybvzuvuv−=±=+=−====−∈R或3．双曲面（1）单叶双曲面2222221coshcoscoshsinsinh,[0,2]xyzabcxauvybuvzcuuvπ+−====∈∈R（2）双叶双曲面2222222211cos1sin(,1][1,),[0,2]xyzabcxauvybuvzcuuvπ+−=−=−=−=∈−∞−+∞∈∪4．椭圆锥面222222cossin[0,2],xyzabcxavuybvuzcvuvπ+====∈∈R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义()()000000000000(,)(,),,,(,),;(,)(,),,,(,),xyfxyzfxyMxyfxyyyxfxyzfxyMxyfxyyyy====偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率.全微分(,)(,),(,),:(,)(,),xyzfxyDxyfxydzfxydxfxydyzzdzdxdyxy==+∂∂=+∂∂若函数在区域内每一点处都可微则在每点处连续且可偏导其全微分为或复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数同济二版微积分(下)6(),(),(,)(,),[(),()],:utvttzfuvuvzftttdzzduzdvdtudtvdtϕφϕφ====∂∂=⋅+⋅∂∂如果函数都在点可导函数在对应点具有连续偏导数则复合函数在点可导且有2．复合函数的中间变量均为多元函数(,),(,)(,),(,)(,),[(,),(,)](,),:,uxyvxyxyzfuvuvzfxyxyxyzzuzvxuxvxzzuzvyuyvyϕφϕφ====∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂如果函数都在点可微函数在对应点具有连续偏导数则复合函数在点可微且有3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数。(,),(,),()[(,),()],(,),,:,zfxyxstytzfsttzxyzzfxsxszfxfdytxtydtϕφϕφ====∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂设复合成二元函数并且函数在对应点具有连续偏导数复合函数可微且有对隐函数求导1．0000000000(,)(,),(,)0,(,)0,(,)(,)0(),(),.yxyFxyxyFxyFxyxyFx