第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.8

4.8LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。ntjnnFtfe)(对周期信号：对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其基本信号为ejt一、频率响应1、基本信号ejt作用于LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ejt时，其响应tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，称为系统的频率响应函数。de)(jhy(t)=H(j)ejtH(j)反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ejt2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ejtH(j)ejt21F(j)ejtd21F(j)H(j)ejtd齐次性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加性‖f(t)‖y(t)=F–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)LTI*h(t)=②傅氏变换③傅氏反变换f(t)①傅氏变换×＝y(t)F(jω)H(jω)Y(jω)频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即)()()(jFjYjH)]()([)()()()()(fyjjejFjYejHjHH(j)称为幅频特性（或幅频响应）；θ()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，θ()是的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号ntjnnTFtfe)(ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(]e*)([)(*)()(若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH则可推导出10)](cos[|)(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。|H(jω)|θ(ω)ω10-100π1-π解法一：用傅里叶变换F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)解法二：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)二、频率响应H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j)+2Y(j)=F(j)21)()()(jjFjYjHf(t)=e-tε(t)←→11)(jjFY(j)=H(j)F(j)2111)2)(1(1jjjjy(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解：画电路频域模型US(jω)RUC(jω)Cjω11ω1ω1ω1)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)=e-tε(t)三、无失真传输系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为y(t)=Kf(t–td)其频谱关系为Y(j)=Ke–jtdF(j)系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t–td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即H(j)=K,θ()=–tdK|H(jω)|θ(ω)ω0上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。2、无失真传输条件：四、理想低通滤波器1|H(jω)|θ(ω)ω0ωC-ωC具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：dCdtjCCtjgjHe)(,0,e)(21、冲激响应h(t)=ℱ-1[g2c()e-jtd]=)](Sa[dcctt可见，它实际上是不可实现的非因果系统。2、阶跃响应g(t)=h(t)*(t)=d)()](sin[d)(dcdctcttth经推导，可得)(0sin121)(dcttdxxxtgxxxyydsin)Si(0称为正弦积分)](Si[121)(dCtttg1tdCdtg(t)0t特点：有明显失真，在t0时，阶跃响应已经出现，同样是理想化模型，物理不可实现的频率响应。在t=td处，h(t)取得极大值，此处阶跃响应的上升也最快，定义信号上升时间为t=td处斜率的倒数，则上升时间1122rcctfB3、物理可实现系统的条件就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即h(t)=0,t0即响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足djH2)(djH21)(ln并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。本节需掌握的重点1、频率响应函数H(j)的求解2、利用傅里叶反变换求解系统的零状态响应y(t)3、无失真传输的含义，以及无失真传输的条件4、理想低通滤波器的表达式，以及其对应的冲激响应h(t)的求解。