高数课件29幂级数

营口地区成人高等教育QQ群543566211.定义:设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数幂级数一、函数项级数的一般概念营口地区成人高等教育QQ群543566212.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.3.和函数:在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.营口地区成人高等教育QQ群54356621)()()()(21xuxuxuxsn(定义域是?)函数项级数的部分和),(xsn余项)()(limxsxsnn)()()(xsxsxrnn0)(limxrnn注意(x在收敛域上)函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.例1求级数nnnxn)11()1(1的收敛域.营口地区成人高等教育QQ群54356621解由达朗贝尔判别法)()(1xuxunnxnn111)(11nx,20时或即xx原级数绝对收敛.,111)1(x当,11x,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.营口地区成人高等教育QQ群54356621,1|1|)3(x当,20xx或,0时当x1)1(nnn级数,2时当x11nn级数).,0[)2,(故级数的收敛域为收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.定义:形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.,,000nnnxax时当其中na为幂级数系数.营口地区成人高等教育QQ群543566212.收敛性:,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域定理1(Abel定理)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;营口地区成人高等教育QQ群54356621如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.证明,)1(00收敛nnnxa,0lim0nnnxa,M),2,1,0(0nMxann使得nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,00收敛等比级数nnxxM,10时当xx营口地区成人高等教育QQ群54356621,0收敛nnnxa;0收敛即级数nnnxa,)2(0时发散假设当xx而有一点1x适合01xx使级数收敛,这与所设矛盾.由(1)结论则级数当0xx时应收敛,几何说明发散区域发散区域收敛区域RRox这是幂级数收敛的特性营口地区成人高等教育QQ群54356621推论如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.定义:正数R称为幂级数的收敛半径.营口地区成人高等教育QQ群54356621),,(RR称为幂级数的收敛区间，收敛域=收敛区间+收敛的端点可能是),,(RR),,[RR],,(RR].,[RR规定(1)幂级数只在0x处收敛,,0R收敛区间0x;(2)幂级数对一切x都收敛,,R收敛区间),(.问题如何求幂级数的收敛半径?营口地区成人高等教育QQ群54356621证明应用达朗贝尔判别法对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,x定理2如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;营口地区成人高等教育QQ群54356621,)0(lim)1(1存在如果nnnaa由比值审敛法,,1||时当x,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa,1||时当x,||0发散级数nnnxa开始并且从某个n|,|||11nnnnxaxa0||nnxa.0nnnxa发散从而级数营口地区成人高等教育QQ群54356621,0)2(如果,0x),(011nxaxannnn有,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果,0x.0nnnxa必发散级数)||01(0收敛使知将有点否则由定理nnnxax.0R收敛半径定理证毕.营口地区成人高等教育QQ群54356621①若1nnnxa在x0处收敛则||0xR②1nnnxa在x0处发散若则||0xR③若1nnnxa在x0处条件收敛则||0xR这是幂级数收敛的特性注利用该定理求收敛半径要求所有的0na或只有有限个0na营口地区成人高等教育QQ群54356621例2求下列幂级数的收敛区间:;)1()1(1nxnnn;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn解)1(nnnaa1lim1limnnn11R,1时当x,)1(1nnn级数为该级数收敛,1时当x,11nn级数为该级数发散故收敛区间是]1,1(.营口地区成人高等教育QQ群54356621;)()2(1nnnxnnnalimnnlim,oR级数只在0x处收敛,;!)3(1nnnxnnnaa1lim11limnn,0,R收敛区间),(.,营口地区成人高等教育QQ群54356621.)21(2)1()4(1nnnnxnnnnaa1lim12limnnn2,21R,2121收敛即x,)1,0(收敛x,0时当x,11nn级数为发散,1时当x,)1(1nnn级数为收敛故收敛区间为(0,1].营口地区成人高等教育QQ群54356621如缺项，则nnnaa1lim必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径例3已知幂级数nnnxa1的收敛半径R=1求nnnxna1!的收敛半径解任取)1,0(0x由nnnxa01收敛知0lim0nnnxaMxann||0注：营口地区成人高等教育QQ群54356621nnnnnxxnxaxna)(!1!00nxxnM0!1由检比法易得nnxxnM01!1收敛),(x故由比较审敛法知nnnxna1!在),(故收敛半径内绝对收敛R注意收敛半径为1，并不意味着`1lim1nnnaa营口地区成人高等教育QQ群54356621三、幂级数的运算1.代数运算性质:,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设21,minRRR(1)加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)nnnbac营口地区成人高等教育QQ群54356621(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn(3)除法)0(0nnnxb收敛域内00nnnnnnxbxa.0nnnxc(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)营口地区成人高等教育QQ群543566212.和函数的分析运算性质:(1)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.(2)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即00nxnndxxa.110nnnxna(收敛半径不变)营口地区成人高等教育QQ群54356621(3)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxs即0)(nnnxa.11nnnxna(收敛半径不变)例4求级数11)1(nnnnx的和函数.解,)1()(11nnnnxxs,0)0(s显然营口地区成人高等教育QQ群5435662121)(xxxs,11x)11(x两边积分得)1ln()(0xdttsx)1ln()0()(xsxs即),1ln()(xxs,1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn)11(x营口地区成人高等教育QQ群54356621例5求和函数1)1(nnxnn解收敛域为11x记111)1()1(nnnnxnnxxnn11)1()(nnxnnxs11x则xdxxsxs01)()(1)1(nnxnxdxxs01)(11nnxxx1211x并求12)1(nnnn的和营口地区成人高等教育QQ群54356621)()(1xsxs3)1(2x故31)1(2)1(xxxnnnn2)1(11x11x故]111[111)(21xxxxxs82)1(1nnnn营口地区成人高等教育QQ群54356621常用已知和函数的幂级数;11)1(0xxnn;11)1()2(202xxnnn;11)3(202xxnn;!)4(0xnnenx;sin)!12()1()5(1121xnxnnn);1ln(1)1()6(01xnxnnn营口地区成人高等教育QQ群54356621记住几个常见级数的和01)1(nnqaaq)1|(|q2ln)1()2(11nnn61)3(212nn12)1()4(2121nnn常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或Abel法营口地区成人高等教育QQ群54356621四、小结1.函数项级数的概念:2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答不一定.例,)(12nnnxxf,)(11nnnxxf,)1()(22nnnxnxf它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题一、求下列幂级数的收敛区间:1、)2(424222nxxxn；2、nnxnxx125222222；3、122212nnnxn；4、)0,0(1babaxnnnn.营口地区成人高等教育QQ群54356621二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:1、11nnnx；2、12531253nxxxxn.营口地区成人高等