高数课件7高阶导数

营口地区成人高等教育QQ群54356621高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx营口地区成人高等教育QQ群54356621记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(33dxydyxf三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf营口地区成人高等教育QQ群54356621二、高阶导数求法举例1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例1).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf;00322)1()13(2)0(xxxf.2营口地区成人高等教育QQ群54356621例2.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x))1((2xy3)2)(1(x)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0营口地区成人高等教育QQ群54356621例3)(1110nnnnnyaxaxaxay求解1221102)1(nnnnaxaxanxnay231202)2)(1()1(nnnaxannxannyknknknkakxaknnnxaknnny!)()2)(1()1()1(110)(0)(!anyn营口地区成人高等教育QQ群54356621注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式例4.),1ln()(nyxy求设解xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn营口地区成人高等教育QQ群54356621例5.,sin)(nyxy求设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn同理可得)2cos()(cos)(nxxn营口地区成人高等教育QQ群54356621例6.),,(sin)(naxybabxey求为常数设解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab营口地区成人高等教育QQ群543566212.高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu)()()()(nnnvuvu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu莱布尼兹公式营口地区成人高等教育QQ群54356621例7.,)20(22yexyx求设解则由莱布尼兹公式知设,,22xveux0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex营口地区成人高等教育QQ群54356621例8)0(arctan)()(nfxxf，求设解得由211)(xxf1)()1(2xfx由Lebniz公式，两边求n阶导数，有0)]()1[()(2nxfx0)1()]([!2)1()1()]([)1()]([2)2(2)1(2)(xxfnnxxfnxxfnnn0)()1()(2)()1()1()()1(2xfnnxnxfxfxnnn营口地区成人高等教育QQ群54356621得令0x0)0()1()0()1()1(nnfnnf注意到1)0(,0)0(ff0)0()2(nf)!2()1()0()12(nfnn注这一解法的特点：找到了xyarctan的连续三阶导数之间的关系，利用0x得到两相隔导数之间的关系，解决问题营口地区成人高等教育QQ群543566213.间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.常用高阶导数公式)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnnnnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)(1)(!)1()1(nnnxnx营口地区成人高等教育QQ群54356621例9.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx营口地区成人高等教育QQ群54356621例10.,cossin)(66nyxxy求设解3232)(cos)(sinxxy)coscossin)(sincos(sin422422xxxxxxxxxx22222cossin3)cos(sinx2sin431224cos1431xx4cos8385).24cos(483)(nxynn营口地区成人高等教育QQ群54356621例11试从ydydx1导出①322)(yydyxd②5233)()(3yyyydyxd解)()(yxxyyyxy①得由ydydx1)1()(22ydyddydxdyddyxd营口地区成人高等教育QQ群54356621dydxydxd)1(yyy1)(123)(yy②)(2233dyxddyddyxd])([3yydyddydxyydxd])([3yyyyyyy1)()(3)(62352)()(3yyyy营口地区成人高等教育QQ群54356621注①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。②yydxyddxdy,,,22都是对x求导③)(])([22xfxf的导数对复合函数xxfyxf)(])([22代回求导数再用对即是22)()()(2xuuufyufxfxu营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题设连续，且，)(xg)()()(2xgaxxf求.)(af营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答)(xg可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf)(xg不一定存在故用定义求)(af)(afaxafxfax)()(lim0)(afaxxfax)(lim)]()()(2[limxgaxxgax)(2ag