高斯公式

第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件*三、通量与散度高斯公式*通量与散度引言牛—莱公式：格林公式：三者共性（实质）：把内部问题转化为边界问题来处理.()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式：()LDQPdxdyPdxQdyxy()()()baFxdxFbFa一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有)1(,)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP或dvzRyQxP)(（1′）,)coscoscos(dSRQP这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。zyxzRddd下面先证:yxRdd231zyxyxDO),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd称为XY-型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz定理1设所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：定理1（2）关于Ω的边界曲面的正向：Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。关于高斯公式的说明:（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法…（3）高斯公式成立的条件：P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1封闭，所围区域Ω。及易于计算dvzRyQxP)(1SAd根据Gauss公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但Gauss公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP(5)由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：x3z1y例1其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解利用Gauss公式,得原式=,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考:若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意23,0zyO用Gauss公式计算这里若改为内侧,结果有何变化?hzyxO例2其中为锥面222zyx解,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,2π1上在介于z=0及z=h之间部分的下侧,,,为法向量的方向角.1,记所围区域为,则zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1利用Gauss公式计算积分作辅助面yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用质心公式,注意0yxzyxzddd24πhyxhyxDdd2421πhhz022πzzd4πh思考:提示:,dddd)(2yxzzyxz介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.,2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面Ozxy例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(π20d10drrπ202dcos4π用柱坐标用极坐标2111yxD【例4】设函数),,(zyxu和),,(zyxv在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，证明,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu其中Σ是闭区域的整个边界曲面，nv为函数),,(zyxv沿Σ的外法线方向的方向导数.222222zyx拉普拉斯算子【证】,coscoscoszvyvxvnvdSnvudSzvyvxvu)coscoscos(dSzvuyvuxvu]cos)(cos)(cos)[(利用高斯公式，即得dSnvu,)]()()([dxdydzzvuzyvuyxvuxPQR符号222222zyx，称为拉普拉斯(Laplace)算子，这个公式叫做格林第一公式．,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu(),vuvdxdydzudSnuvuvuvdxdydzxxyyzz*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,•若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;•若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但空间一维单连通域.2.闭曲面积分为零的充要条件定理2),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),,(,0①证根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM00MzRyQxP已知①成立,“充分性”.因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GMU,)(0上使在MU0zRyQxP的边界为设)(0MU则由高斯公式得yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMUddd)(00与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,*三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(理意义可知,设为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当0时,说明流入的流体质量少于当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为nn方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,SnAd为向量场A通过在场中点M(x,y,z)处记作AdivzRyQxPAdiv显然A有向曲面的通量(流量).称为向量场A在点M的散度.高斯公式可写成dSAdvAdivn)coscoscos(0RQPnAAn的边界曲面，是空间闭区域其中.的外侧法向量上的投影在曲面是向量AAn0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场A处处有例如,匀速场),,,(),,(为常数其中zyxzyxvvvvvvv0divv故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且散度意义,则称A为无源场.yxydd112例5解kzjy22zy)0(122zzyffnkzjzyA2穿过曲面流向上侧的通量,其中为柱面被平面10xx及截下的有限部分.x122zy1)0,1,1(O)0,1,1(zyn,),(22zyyxf则上侧的法向量为kzjy在上32zzyzzyz)(22nA故所求通量为SnAdSzdxyDy212求向量场记