高斯公式与斯托克斯公式

第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意义通量与散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意义环流与旋度五、作业设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数,则有公式()dddddddPQRvPyzQzxRxyxyz一、高斯公式()d(coscoscos)d,PQRvxyzPQRS或cos,cos,cos(,,)xyz其中是整个边界曲面的，是曲面上点处的法向量的方外侧向余弦.定理证明设闭区域在面xoy上的投影区域为xyD.xyzo由1,2和3三部分组成,),(1:1yxzz),(2:2yxzz3123xyD根据三重积分的计算法21(,)(,)d{}ddxyzxyzxyDRRvdzxyzz21{[,,(,)][,,(,)]}dd.xyDRxyzxyRxyzxyxy根据曲面积分的计算法11(,,)dd[,,(,)]dd,xyDRxyzxyRxyzxyxy(1取下侧,2取上侧,3取外侧)22(,,)dd[,,(,)]dd,xyDRxyzxyRxyzxyxy3(,,)dd0.Rxyzxy21{[,,(,)][,,(,)]}dd,xyDRxyzxyRxyzxyxy(,,)ddRxyzxy于是d(,,)dd.RvRxyzxyz123ddddddRxyRxyRxy=d(,,)dd,PvPxyzyzx同理d(,,)dd,QvQxyzzxy()ddddddd.PQRvPyzQzxRxyxyz------------------高斯公式合并以上三式得：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.()d(coscoscos)d.PQRvxyzPQRS由两类曲面积分之间的关系知使用Guass公式时应注意:1.RQP,,是对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件;3.Σ是取闭曲面的外侧.Guass公式应用之一:简化曲面积分计算()dd()ddxyxyyzxyz例1计算曲面积分其中Σ为柱面122yx及平面3,0zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.解(),0,,PyzxQRxy,0,0,zRyQzyxPdxdydzzy)(原式dzrdrdzr)sin(.29(利用柱面坐标得)课本例2注：对称性+截面法更简单，自己练习！例2计算曲面积分222dd()dd(2)dd,xzyzxyzzxyxyzxy其中Σ为上半球面222,zaxy取上侧.添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上使用高斯公式。对新添加之曲面（实为平面），用“一投、二代、三定号”的基本方法计算其曲面积分.52.5a答案：课本例3，07期末题试题链接：22()dd2dd4.122010Iyzzxxyzxy计算曲面积分，其中为上半球面的上侧（答案：）()2011.I计算曲面积分，其中为上半球面（答案：）2223()40930.2IxyzdydzydzdxzdxdyzRxyR计算曲面积分，其中为上半球面的上侧（答案：）22(20)(620xdydzydzdxzdxdyzxyz计算曲面积分，其中：1)的上侧.（答案：）222222252007()225xzdydzxyzdzdxxyyzdxdyzaxya计算曲面积分，其中：的上侧.（答案：）222()332z223008zxdydzxydzdxyzdxdyzxy计算曲面积分，其中：位于平面下方的部分的下侧.（答案：）xyzo222(coscoscos)dxyzS例3计算曲面积分,其中Σ为锥面222zyx介于平面0z及)0(hhz之间的部分的下侧,cos,cos,cos是Σ在),,(zyx处的法向量的方向余弦.h课本例5xyDxyzoh1解空间曲面在面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz补充曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式取上侧，1构成封闭曲面，1.1围成空间区域,上使用高斯公式在1222(coscoscos)d2()dxyzSxyzv02d2ddzhDzvzdzxy41.2h112222(coscoscos)ddxyzSzS2ddxyDhxy.4h故所求积分为222(coscoscos)dxyzS421h4h.214h1:,zh上侧coscos0,cos1Gauss公式的应用之二：体积公式()1dddddd3Vxyzyzxzxy外侧课本例1提示：Guass,,.PxQyRz逆用公式，令二、高斯公式物理意义--通量与散度有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分1.通量的定义:0dddddddd,ASAnSPyzQzxRxy称为向量场),,(zyxA向正侧穿过曲面Σ的通量.设有向量场),,(zyxA,在场内作包围点M的闭曲面,包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩成点M时,极限存在，则称之为A在点M处的散度,记为divA.2.散度的定义:dlimVMASV物理意义：通量对体积的变化率，称为通量密度.散度在直角坐标系下的形式d()dPQRASvxyz11d()dPQRASvVVxyz(,,)(),PQRxyz1divlimd,VMPQRAASVxyz积分中值定理两边取极限,div.PQRAxyz高斯公式可写成divddnAvAS)coscoscos(0RQPnAAn的边界曲面，是空间闭区域其中.的外侧法向量上的投影在曲面是向量AAn高斯公式右端：单位时间内离开区域的流体总质量(流量).高斯公式左端：区域内源头在单位时间所产生的流体质量的平均值.小结divddnAvAS应用的条件物理意义高斯公式的实质高斯公式()dddddddPQRvPyzQzxRxyxyz定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式三、斯托克斯(stokes)公式()dd()dd()ddRQPRQPyzzxxyyzzxxydddPxQyRz斯托克斯公式.n是有向曲面的正向边界曲线右手法则xyzo),(:yxfzxyDCn证明设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在xoy的投影.且所围区域xyD.如图思路曲面积分二重积分曲线积分12dddd(coscos)d,PPPPzxxySzyzy代入上式得又,coscosyfdddd()cosd,yPPPPzxxyfSzyyzdddd()dd,yPPPPzxxyfxyzyyz即dddd[,,(,)]dd,xyDPPzxxyzyPxyfxyxyyyfzPyPyxfyxPy)],(,,[1[,,(,)]dd[,,(,)]d,xycDPxyfxyxyPxyfxyxydddd[,,(,)]d.cPPzxxyPxyfxyxzy即根椐格林公式平面有向曲线2dddd(,,)d,PPzxxyPxyzxzy空间有向曲线dddd(,,)d,QQxyyzQxyzyxz同理可证dddd(,,)d,RRyzzxRxyzzyx()dd()dd()ddRQPRQPyzzxxyyzzxxydddPxQyRz所以，.ddddddddd.yzzxxyPxQyRzxyzPQRcoscoscosdddd.SPxQyRzxyzPQR另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy面的平面闭区域时)dddzxxyyz例1计算曲线积分,其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.简单的应用0xyDxyzn111解按斯托克斯公式,有dddzxxyyzddddddyzzxxy()dd()dd()ddRQPRQPyzzxxyyzzxxydddPxQyRz3d,xyDxyo11xyD3.2弦都为正，的法向量的三个方向余由于再由对称性知：如图xyDddddddyzzxxydddzxxyyz222222()d()d()dyzxzxyxyz例2计算曲线积分其中是平面23zyx截立方体:10x,10y,10z的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向.解取Σ为平面23zyx的上侧被所围成的部分.则}1,1,1{31nzxyon即,31coscoscos222222111333dISxyzyzzxxy4()d3xyzS43d23S233ddxyDxy.29)23(zyx上在xyD23yx21yx四、斯托克斯公式的物理意义--环流量与旋度(,,)(,,)(,,)(,,)dddd.CCAxyzPxyziQxyzjRxyzkACAsPxQyRzAC设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线上的曲线积分称为向量场沿曲线按所取方向的环流量1.环流量的定义:ddCijkAsSxyzPQR环流量利用stokes公式,有2.旋度的定义:r.(ot)ijkxyzPQAR称向量为向量场旋度的()()(),,.RQPRQPijkyzzxxyRQPRQPyzzxxyrotijkAxyzPQR旋度斯托克斯公式的又一种形式其中,coscoscoskjin的单位法向量为coscoscos.tijk的单位切向量为dSyPxQxRzPzQyR]cos)(cos)(cos)[((coscoscos)d.PQRs斯托克斯公式的向量形式rotddAn