第5次 z变换_计算机控制技术

3.4线性离散系统的脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义2.脉冲传递函数的求法3.脉冲传递函数与差分方程4.开环脉冲传递函数5.闭环脉冲传递函数6.数字控制系统的闭环脉冲传递函数7.Z变换法分析闭环系统的响应特性1脉冲传递函数的定义3.4线性离散系统的脉冲传递函数kTxbTmkxbTmkxbkTyaTnkyaTnkymn11101离散系统输出y(kT)输入x(kT)mn,azazazbzbzbzbzqzpzRzYzGnnnnmmmm1111110输入输出•线性离散系统的脉冲传递函数定义为输出变量的Z变换与输入变量的Z变换之比。输入、输出变量的初值都假定为零。SISO线性离散系统脉冲传递函数图开环离散系统SISO线性离散系统脉冲传递函数设某连续系统的传递函数为G(s)。当其输入信号为单位脉冲函数δ(t)时，其输出为单位脉冲响应g(t)。当输入信号为一脉冲序列r(0),r(T),…，r(nT)时,根据叠加定理，相应的输出为0(0)()()()()()()()()nirgtrTgtTrnTgtnTytriTgtiT2.脉冲传递函数的求解方法对于ik时的r(iT)，它引起的输出响应分量在kT时刻的值等于零。即当ik时，。这就是说，kT时刻以后的输入脉冲，如r［(k+1)T］,r［(k+2)T］,…，不会对kT时刻的输出信号发生影响。0])[()(TikgiTtg0()()(0)()()[(1)]()[()][()]()tkTniytykTrgkTrTgkTrnTgknTgkiTriT0()[()]()iykTgkiTriT所以式中的求和上限n可以扩展成∞，而不影响kT时刻的输出值000()0000()[()]()()()()()()()()kkkkimimimimiykTzgkiTriTzgmTriTYzGzRzgmTzriTzz式中m=k-i脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t)的采样值g*(t)的z变换。即用下式表示0)()(kkzkTgzG)]([)]([)()(*0tgZtgZzkTgzGkk且（1）定义用拉氏变换求脉冲过渡函数g(t)=L-1[G(s)]将g(t)按采样周期离散化得g(kT)根据上式求得脉冲传递函数G(z)（2）留数公式()()GzZGs当系统的传递函数G(s)已知时，可按下列步骤求取脉冲传递函数G(z)：例3.14求脉冲传递函数1010()Gsss11010110tgtLtess解：1001kTkkgtkTez1001()()kTkzzGzgkTzzze11010()Gsss查表得101()TzzGzzze当然根据z变换及z反变换的性质，脉冲传递函数与差分方程之间可以相互转换。典型的线性离散系统的差分方程可以写成在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换njnjjjjkyajkrbky01)()()(njjjjnjjzzYazzRbzY10)()()(3.脉冲传递函数与差分方程01()()()1njjjnjjjbzYzGzRzaz系统的脉冲传递函数为〖例〗设线性离散系统的差分方程为且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。解：对差分方程求z变换，得系统的脉冲传递函数为)2(3)1(2)()3(8)2(4)1(2)(krkrkrkykykyky21321)(3)(2)()(8)(4)(2)(zzRzzRzRzzYzzYzzYzY321218421321)()()(zzzzzzRzYzG4.开环脉冲传递函数串联环节之间有采样开关情况串联环节之间无采样开关情况输入处无采样开关情况〖例〗求某计算机控制系统中一个连续环节的脉冲传递函数。解：在计算机控制系统中，连续环节Gp(s)是通过保持器来接受输入脉冲序列的，因此整个系统的开环传递函数是保持器与连续环节的串联连接。如果使用的是零阶保持器，则其传递函数是asasGp)(sesHTs1)(00111()()()()(1)1111()()TsTspTseaGsHsGsessassaessassa查拉氏变换表，利用平移定理得故有结论1：零阶保持器的引入，不影响开环系统脉冲传递函数的极点阶数，但影响零点阶数。结论2：加入零阶保持器后的脉冲传递函数111111111)1(111111)]([)(zezezezzezzztgZzGaTaTaTaT)](1[)1()]()([)(10sGsZzsGsHZzGpp1()()()[()](1)1()[1]1()1()1()atatTatatTgtLGsetetTttTee串联环节之间有采样开关情况因为同理有因此此时开环脉冲传递函数)()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(*1sEsGsA)()()(1zEzGzA)()()()(12zEzGzGzY21()()()GzGzGz图串联环节之间有采样开关串联环节之间无采样开关情况因为则有此时开环脉冲传递函数为)()()()(*12sEsGsGsY)()()(12zEzGGzY2121()()[()()]GzGGzZGsGs图串联环节之间无采样开关输入处无采样开关情况因为故有)()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(1sEsGsA)]()([)()(11sEsGZzEGzA图输入处无采样开关21()()()YzGzGEz当输入处无采样开关时，求不出输出对输入的脉冲传递函数，只能求出输出采样信号的z变换。5.闭环脉冲传递函数由于采样开关的配置不同，因此闭环离散系统没有统一的结构形式。闭环脉冲传递函数的分析方法与开环脉冲传递函数类似。图闭环离散系统常见结构形式推导方法（1）指定每个采样开关的输入变量，该采样开关的输出是该变量的星号拉氏变换；（2）每个开关的输入量和实际系统的输出量视为系统输出量，列在方程左端；（3）每个开关的输出量和实际系统的输入量视为系统输入量，列在方程右端；（4）消去中间变量，得到系统输入输出表达式。例设闭环离散系统结构图如下图，试证其输出信号的z变换为)(1)()(zGMzGRzY证明：由图可知(参考推导方法)所以有取采样信号的z变换，得即)()()(sEsGsY)()()()(*sYsMsRsE)()()()()()(*sYsMsGsRsGsY)()()()(zYzGMzGRzY)(1)()(zGMzGRzY如果M(S)无，且无采样6.数字控制系统的闭环脉冲传递函数+A/Dr(t)y(t)_e(t)计算机Gp(s)D/Ad(kT)e(kT)u(t)+R(s)Y(s)_E(s)D(z)Gp(s)D*(s)E*(s)U(s)1TsesG(s)设1()()TspeGsGss****()()()()()()()()()YsGsDsEsEsRsGsDsEs*********()()()()()()()()()YsGsDsEsEsRsGsDsEs******()()()()1()()GsDsRsYsGsDs()()()()1()()YzGzDzRzGzDz7.Z变换法分析闭环系统的响应特性方法：先推导脉冲传递函数，再用z反变换法，确定系统的时间响应特性22222140()(440)1126(2)63(2)6zGzZzssszsZzsss解：系统开环传递函数为例闭环系统结构图如下所示，试用z变换方法分析确定系统输出响应特性，其中r(t)=1(t)，T=0.02。+r(t)y(t)_T＝0.02e*(t)1Tses240440ss闭环传递函数为22222421cos6sin613()12cos60.007780.00758()1.907760.92312TTTTzzeTzeTzzGzzzzzeTezGzzz查表得：2()0.007780.00758()1()1.900.9307GzzzGzzzT=0.02在r(t)=1(t)时，23212340.007780.00758()()()2.902.80370.90370.007780.03010.06540.1112zzYzzRzzzzzzzz下面分析零阶保持器以及采样周期T对系统输出响应特性的影响。在上例中，原连续系统闭环传递函数为：22220.540()()4802nnnssss二阶系统公式8.944,0.2236n其中***它的输出响应曲线与离散系统的输出响应曲线见图所示，可以看出两者吻合较好离散系统阶跃响应连续系统阶跃响应根据第二章对采样周期的讨论，我们来看一下采样周期的选择情况。根据闭环系统带宽看：22361sdnNT20.206110.3rnrtstNT根据系统响应上升时间〖例〗闭环系统结构图如下所示，确定系统输出响应特性，其中r(t)=1(t)。222222111111()(1)11(1)(1)1(1)(1)0.3680.2640.00480.0047()()1.3680.3681.90480.TTTTTTzzGzZZzsszssszzTzzTezTeezzzzezezezzGzGzzzzz9048+r(t)y(t)_T＝1e*(t)1Tses1(1)ss解：系统开环传递函数为T=1T=0.1闭环传递函数为22()0.3680.2640.00480.0047()1()0.6321.90.9095GzzzzGzzzzz2123450.3680.264()()()0.63210.3681.001.401.401.15zzYzzRzzzzzzzzz系统输出z变换为下面分析零阶保持器以及采样周期T对系统输出响应特性的影响。在上例中，原连续系统闭环传递函数为：22221()12nnnssss1,0.5n其中离散系统阶跃响应T＝1s离散系统阶跃响应T＝0.1s连续系统阶跃响应根据第二章对采样周期的讨论，我们来看一下采样周期的选择情况。根据闭环系统带宽看：10.1227.2572.51TTsdnNT***它的输出响应曲线与离散系统的输出响应曲线见图所示，可以看出在采样周期T＝1s时，离散系统阶跃响应的超调过大，调节时间加长；当T＝0.1s时，离散系统的响应输出和连续系统基本一致。•作业•3.6(1)•3.7(2)•3.9•3.11