导数大题中不等式的证明题

数学（理科）试题A第1页共17页导数大题中不等式的证明1.使用前面结论求证（主要）2.使用常用的不等关系证明，有三种：ln1xx，sin,xxe1xx。1、设函数()exfx(e为自然对数的底数)，23()12!3!!nnxxxgxxnL（*nN）．（1）证明：()fx1()gx≥；（2）当0x时，比较()fx与()ngx的大小，并说明理由；（3）证明：123222211e2341nngn≤L（*nN）．2、已知函数2901xfxaax()()．（1）求fx()在122[,]上的最大值；（2）若直线2yxa为曲线yfx()的切线，求实数a的值；（3）当2a时，设1214122xxx,…,,,，且121414xxx…+++，若不等式1214fxfx+fx…()+()+()恒成立，求实数的最小值．数学（理科）试题A第2页共17页3、已知,ln2)(),0()(bxxxgaxaxxf且直线22xy与曲线)(xgy相切．（1）若对),1[内的一切实数x，不等式)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对71828.2](3,[ee是自然对数的底数）内的任意k个实数kxxxx,,,,321都有)(16)()()(121kkxgxfxfxf成立；（3）求证：)12ln(14412niini)(Nn4、已知函数)1ln()(2xaxxf（1）当54a时，求函数)(xf在),0(上的极值；（2）证明：当0x时，xx)1ln(2；（3）证明：en)11()311)(211(444为自然对数的底数）enNn,2,(.数学（理科）试题A第3页共17页5、在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:214yx.实数p,q满足240pq，x1,x2是方程20xpxq的两根，记12(,)max,pqxx。（1）过点20001(,)(0)4Appp(p0≠0)作L的切线交y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有0(,)2ppq；（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b0,a≠0。过M(a，b)作L的两条切线12,ll，切点分别为22112211(,),(,)44EppEpp，12,ll与y轴分别交与,'FF，线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M(a,b)X12PP(,)ab12p；（3）设D={(x,y)|y≤x-1,y≥14(x+1)2-54}，当点(p,q)取遍D时，求(,)pq的最小值（记为min）和最大值（记为max）.6.设a＜1，集合（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数在D内的极值点。数学（理科）试题A第4页共17页7、设函数2()(1)()xfxxekxkR（1）当1k时，求函数()fx的单调区间；（2）当1(,1]2k时，求函数()fx在[0,]k上的最大值M8、设函数2221()(2)2(2)3fxxxkxxk，其中2k，（1）求函数()fx的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数()fx在D上的单调性；（3）若6k，求D上满足条件()(1)fxf的x的集合（用区间表示）。数学（理科）试题A第5页共17页9、已知二次函数21fxxaxm，关于x的不等式2211fxmxm的解集为1mm,，其中m为非零常数.设1fxgxx.（1）求a的值；（2）kk(R)如何取值时，函数xgx1kxln存在极值点，并求出极值点；（3）若1m，且x0，求证：1122nnngxgxn(N*).10、已知函数221exfxxx（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数()fx的单调区间；（2）定义：若函数hx在区间,stst上的取值范围为,st，则称区间,st为函数hx的“域同区间”．试问函数()fx在1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．数学（理科）试题A第6页共17页11、设na是函数321fxxnx*nN的零点．（1）证明：01na；（2）证明：1nn1232naaa．12、已知函数ln(,fxaxbxabR)在点1,1f处的切线方程为220xy.（1）求,ab的值；（2）当1x时，0kfxx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当nN*，且2n时，22111322ln23ln3ln22nnnnnn.数学（理科）试题A第7页共17页13、已知函数2ln12afxxxx0a.（1）若0fx对0,x都成立，求a的取值范围；（2）已知e为自然对数的底数，证明：nN*，e22212111nnnne.14、设函数)(ln)(axexfx，e是自然对数的底数，718.2e，Ra为常数．⑴若)(xfy在1x处的切线l的斜率为e2，求a的值；⑵在⑴的条件下，证明切线l与曲线)(xfy在区间)21,0(至少有1个公共点；⑶若]3ln,2[ln是)(xfy的一个单调区间，求a的取值范围．数学（理科）试题A第8页共17页15、已知函数()fxax，()lngxx，其中aR,（e≈2.718）．（1）若函数()()()Fxfxgx有极值1，求a的值；（2）若函数()(sin(1))()Gxfxgx在区间(0,1)上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：211sinln2(1)nkk．16、设函数2()ln||fxxxax。（1）求函数f（x）的导函数'()fx；（2）若12,xx为函数f（x）的两个极值点，且1212xx，试求函数f（x）的单调递增区间；（3）设函数f（x）的点C（00,()xfx）（0x为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，求0x的取值范围。数学（理科）试题A第9页共17页17、已知函数21()ln,()2fxxgxaxbx，设()()()hxfxgx。（1）若g（2）＝2，讨论函数h（x）的单调性；（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点12,xx。①求b的取值范围；②求证：212xxe18、1当1m时，求过点0,1且与曲线21ygxx相切的切线方程；2求函数ygx的单调递增区间；3若函数ygx有两个极值点a，b，且ab，记x表示不大于x的最大整数，试比较singagb与cosgagb的大小．数学（理科）试题A第10页共17页19、已知定义在]2,2[上的奇函数)(xf满足：当]2,0(x时，)2()(xxxf．（1）求)(xf的解析式和值域；（2）设aaxxxg2)2ln()(，其中常数0a．①试指出函数))(()(xfgxF的零点个数；②若当11k是函数))(()(xfgxF的一个零点时，相应的常数a记为ka，其中1,2,,kn．证明：1276naaa（*Nn）．20、设函数1xfxx，ln1gxx．1求函数1xfxgx的最大值；2记2xgxbx，是否存在实数b，使20x在0,上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；3证明：2111ln12nkknk（1n，2，）．数学（理科）试题A第11页共17页21、已知函数lnxafxx.(Ⅰ)若1a,证明:函数fx是0,上的减函数；(Ⅱ)若曲线yfx在点1,1f处的切线与直线0xy平行,求a的值；(Ⅲ)若0x,证明:ln1e1xxxx(其中e2.71828是自然对数的底数).22、已知函数2()()ln()xfxaRxaax（1）当a=0时，求函数()fx的单调区间；（2）当a=1时，设2()()xhxfx，（i）若对任意的,0x，2()hxkx成立，求实数k的取值范围；（ii）对任意121xx,证明：不等式121211122()()2xxxxhxhxxx恒成立.数学（理科）试题A第12页共17页23、设常数a＞0，R，函数32)()()(axaxxxf.（1）若函数)(xf恰有两个零点，求的值；（2）若)(g是函数)(xf的极大值，求)(g的取值范围.24、已知函数lnfxax11xx，exgx（其中e为自然对数的底数）．（1）若函数fx在区间0,1内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当0b时，函数gx的图象C上有两点,ebPb，,ebQb，过点P，Q作图象C的切线分别记为1l，2l，设1l与2l的交点为00,Mxy，证明00x．数学（理科）试题A第13页共17页25、已知0a，函数)(xf＝2xaxa．（1）记)(xf在区间40，上的最大值为)(ag，求)(ag的表达式；（2）是否存在a，使函数)(xfy在区间0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．26、已知函数22()21,()fxxxaxaaR（1）当1a时，解不等式()1fxx；（2）当0a时，求函数()fx的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()fx的图象总在直线(,ymmRm是常数）的下方，求a的取值范围．数学（理科）试题A第14页共17页27、设函数ln,fxx212.gxaxfx（1）当1a时，求函数gx的单调区间；（2）设1122,,,AxyBxy是函数yfx图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C00,xy，直线AB的斜率为k.证明：0kfx；（3）设01bFxfxbx，对任意1212,0,2,xxxx，都有12121FxFxxx，求实数b的取值范围.28、已知函数xbaxxxfln)(，对任意的),0(x，满足0)1()(xfxf，其中ba,为常数．（1）若)(xf的图像在1x处切线过点)5,0(，求a的值；（2）已知10a，求证：0)2(2af；（3）当)(xf存在三个不同的零点时，求a的取值范围．数学（理科）试题A第15页共17页29、已知函数babxaxxf,(,1)(2为实数，),0Rxa．（1）若0)1(f，且函数)(xf的值域为),0[，求)(xf；（2）设0,0,)()()(xxxfxfxF，0,0,0anmmn，且函数)(xf为偶函数．证明：0)()(nFmF；（3）设)(,1ln)(xgexxgx的导函数是),(xg当1ba时，证明：对任意实数0x，21)(]1)([exgxf．30、已知函数xxmmxxf2ln)2()(（Rm），xxxg)1ln()(.（1）讨论)(xf的单调区间；（2）是否存在0m时，对于任意的]2,1[,21xx，都有1)()(21xgxf恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.数学（理科）试题A第16页共17页31、已知函数dcxbxxxf2