1.7 解析函数的幂级数展开

1幂级数定义各项均为幂函数的复变函数项级数：称为以b为展开中心的幂级数。其中ka为复常数。20120()()()kkkazbaazbazb2幂级数的收敛性--Abel定理：如果幂级数0()kkkazb在某点0zz处收敛，则它在以b为圆心，以0zb为半径的圆内绝对收敛，而且在任何一个较小的闭圆0zbzb上一致收敛。推论：如果幂级数0()kkkazb在某点1zz处发散,则它在圆1zbzb的外部处处发散.Abel定理及其推论3幂级数的收敛圆及其收敛半径由Abel定理及其推论易知，幂级数的收敛区域和发散区域是不可能相间的。所以对于幂级数0()kkkkazb，必定存在一以b为圆心，R为半径的圆，在圆内该级数绝对收敛（而且在较小的圆内一致收敛），而在圆外发散。这个圆称为该幂级数的收敛圆，R称为它的收敛半径。4例4.5若幂级数0(2)nnncz在00z处收敛，问在3z处收敛，还是发散?【解】因为当3z时,032zz,且级数在0zz处收敛。由Abel定理可知该级数在3z处收敛且绝对一致收敛。5确定幂级数的收敛半径可以利用正项级数的比值判别法来确定幂级数的收敛半径：因为11limlimkkkkkkfazbfa，所以有：11lim1kkkazba，　级数收敛；　，　级数发散。k1limkkRa根式判别法：易得幂级数的收敛半径为：1limkkkaRa6例4.6求下列幂级数的收敛半径.(1)31nnzn(并讨论在收敛圆周上的敛散性)；(2)1(1)nnzn(并讨论在0,2z点处的敛散性).解:(1)因为3311limlim1nnnnnaan，所以该级数的收敛半径为1R；在收敛圆周上,幂级数变为:31innen,易知该级数绝对收敛因而也收敛.7(2)易得:11limlim1nnnnnaan，故该级数的收敛半径为1R.因0,2z均位于收敛圆周上，故需要进一步讨论起敛散性．对于0,z原级数变为交错级数1(1)nnn，（由交错级数的Lebniz判别法）易知其收敛但不绝对收敛．对于2,z该幂级数变为调和级数，故发散。8解析函数的Taylor展开Taylor定理设()fz在区域B内解析，则在B内任一点b的邻域zbR(包含于区域B内)，()fz可以唯一展开为幂级数：0()kkkfzazb。该级数称为Taylor级数，展开系数称为Taylor系数，且()11()2!nnnCffbadinb特别地，当0b时的Taylor级数0()zkkkfza称为Maclaurin级数。9证明思路设z为圆zbR内任一取定的点,则总有一个以ｂ为圆心的包含在该圆内的圆C:b0R使z包含于C内．由Cauchy定理1()()2Cffzdziz。又0111nnzbzbzbbb,所以1001()1()()21()2()!nkknCnkknCkffzzbdazbibfadibfbn10几个重要的Maclaurin级数201212240212135020111,!2!!(1)11(1)cos1,(2)!2!4!(2)!(1)11(1)sin,(21)!3!5!(21)!11,11nznnnnnnnnnnnnnnnzezzzznnzzzzzznnzzzzzzznnzzzzzz11补充说明1、若a是f(z)的离展开中心最近的奇点，则f(z)的泰勒级数的收敛半径为Rab。2、解析函数的展开式是唯一的，因而可以用任何方便的办法来得到其泰勒展开式。12例4.8分别求211,11zz在0z的邻域内的泰勒展开。解：(1)易知11z在圆1z的内部是解析的;其在0z处的k阶导数为!k,故有211,1.1kzzzzz(2)令2zt则有:20402211111kkkkzzztzt,1.z13例4.9将函数21(1)z在00z处展开成幂级数.【解】由于函数21(1)z在单位圆周1z上有一个奇点1z，而在1z内处处解析，所以它在1z内可展开成z的幂级数.2011011(1)(1)1(1),1nnnnnnzzznzz14对于多值函数，在适当规定了单值分支后，每一个单值分支可以看作单值连续的解析函数，因而可以像单值函数一样做Taylor展开。15例4.10求多值函数1z在0z的泰勒展开。规定0z时11z。解：可直接求出函数1z在0z的各阶导数值，1020()0(0)1'(0)(1)''(0)(1)(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)(1)zznnzffzfzfnzn16因此，01nnzzn。其中111,0!nnn，称为广义二项式系数。级数的收敛区域依割线的作法而定,收敛半径等于0z到割线的最短距离。17例4.11求ln1z在0z的泰勒展开。【解】我们知道，ln(1)z在从1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的，而1是它的一个奇点，所以它在1z内可以展开成z的幂级数.因为01ln(1)(1),(1),1nnnzzzz所以000101ln(1)d(1)d1(1),1.1zznnnnnnzzzzzzzn18例4.12求1zez在0z的泰勒展开。【解】我们知道，1zez在1z是解析的，所以它在1z内可以展开成z的幂级数.又因为：211,!11,11znnezzznzzzzz所以：23111121111,1.12!2!3!zezzzzz19TheEnd