第一章 线性空间与线性变换

第一章线性空间和线性变换§1.1线性空间集合集合:作为整体看的一堆东西元素子集集合相等运算交并和Sa21SS122121SSSSSS且21SS21SS},|{2121SySxyxSS数域数域:如果一个数集中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在该数集中常用数域有：有理数域、实数域、复数域奇数集和偶数集不能形成数域映射映射：集合S到集合S’的一个映射是指一个法则(规则)f:S→S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a’与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。一般称a’为a的象，a为a’的原象。若S=S’，则称映射为变换。映射的相等：设有两个映射f:S→S’和g:S→S’，若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。映射的例子例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。映射的乘积映射的乘积(复合)：若f:S1→S2和g:S2→S3，则映射的乘积g○f定义为：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情况下，简记g○f为gf映射的乘积满足结合律,即(fg)h=f(gh)映射的乘积不满足交换律,一般而言fg≠gf线性空间的定义定义：设V是一个非空的集合，K是一个数域，在集合V中定义两种封闭的代数运算,一种是加法运算，用+来表示，另一种是数乘运算,用∙来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律：α+β=β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V都有α+0=α（4）负元素:对于V中的任意元素α都存在一个元素β使得：α+β=0线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：1∙α=α（6）结合律:对k,l∈K,α∈V有：(kl)∙α=k∙(l∙α)（7）分配律:对k,l∈K,α∈V有：(k+l)∙α=k∙α+l∙α（8）数因子分配律:对k∈K,α,β∈V有：k∙(α+β)=k∙α+k∙β称这样的集合V为数域K上的线性空间。定理：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。线性空间的例子例1：全体实函数集合RR构成实数域R上的线性空间。例2：复数域C上的全体m×n阶矩阵构成的集合Cm×n为C上的线性空间。例3：实数域R上全体次数小于或等于n的多项式集合Pn构成实数域R上的线性空间。例4：全体正的实数R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意k∈R,a,b∈R+kaakabba数乘运算：加法运算：例5：R∞表示实数域R上的全体无限序列组成的集合。即线性空间的例子（续）},3,2,1,|],,,{[321iRaaaaRi则R∞为实数域R上的一个线性空间。123123112233123123[,,,][,,,][,,,][,,,][,,,]aaabbbabababkaaakakaka在R∞中定义加法与数乘：例6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成R上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有0,0,N,mnNmnaaR线性空间的例子（续）例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合构成R上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛R21nna线性空间的基本概念及其性质基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。基本性质：(1)含有零向量的向量组一定线性相关；(2)整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；(3)如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；(4)向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；(5)如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；例1实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的正整数。例3实数域R上的线性空间RR中，函数组是线性相关的。12,,,nxxxeee12,,,n12,,,nxxx12,,,n21,cos,cos2xx线性空间的基底与维数定义：设V为数域K上的一个线性空间。如果在V中存在n个线性无关的向量，使得V中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为V的一个基或基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称V为一个n维线性空间，记为dimV=n。12,,,n12,,,n1122nnkkk12,,,n12(,,,)Tnkkk12,,,n例1实数域R上的线性空间R3中向量组与向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)都是线性空间R3的基底，R3是3维线性空间。例2实数域R上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。10111111,,,0000101122R01101111,,,1111011022R22R基底的例子（续）例3实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向量组与向量组都是Pn的基底，Pn的维数为n+1。注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。21,,,,nxxx21,2,(2),,(2)nxxx基底的例子（续）例4在4维线性空间中，向量组与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。01101111,,,1111011010111111,,,000010111234A22R解：设向量A在第一组基下的坐标为于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110xxxx12347412,,,3333xxxx12341,1,1,4yyyy1234(,,,)Txxxx同一向量在不同的基下坐标不同,那它们有什么关系呢?设（旧的）与（新的）是n维线性空间V的两组基底，它们之间的关系为12,,,n12,,,n11221212,,,,1,2,,iiininiinniaaaaaina基变换与坐标变换1112121222121212,,,,,nnnnnnnnaaaaaaaaa将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称n阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵(可逆)，那么上式可以写成1212,,,,,nnP任取，设在两组基下的坐标分别为与，那么我们有V12,,,Tnxxx12,,,Tnyyy1122nnxyxyPxy该式被称为坐标变换公式。nnxxx2121],,,[nnyyy2121],,,[nnyyyP2121],,,[于是有：12340110,,11111111,,011012341011,,00001111,,1011与向量组例1在4维线性空间中，向量组22R为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式1234A1234,,,1234,,,1234123421103331110333,,,,,,12103331211333向量A在第一组基下的坐标为12347412,,,3333xxxx利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx定义设V为数域F上的一个n维线性空间，W为V的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有那么我们称W为V的一个子空间。例1对于任意一个有限维线性空间V，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间{0},W,klFklW以及线性空间V本身.线性空间的子空间例2设，那么线性方程组的全部解为维线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3设为维线性空间中的一组向量，那么非空子集合mnAR0AXnnR0AX12,,,snV121122,,,sssispankkkkF构成线性空间的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称为该子空间的生成元。的维数即为向量组的秩，的最大无关组为基底。例4实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间V12,,,s12,,,s12,,,sspannnRnnR12,,,s矩阵的值域及核空间定义:设A是m×n的一个实矩阵,ai表示A的第i个列向量,称子空间span{a1,a2,…,an}为矩阵A的值域(列空间),记为R(A)定义:设A是m×n的一个实矩阵,称集合{x|Ax=0}为A的核空间(零空间),记为N(A)dimR(A)+dimN(A)=n子空间的交与和两个子空间的交:两个子空间的和:子空间交与和的性质若V1和V2都是V的子空间，则V1∩V2和V1+V2也是V的子空间.V1∩V2=V2∩V1，V1+V2=V2+V1(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)1212:&VVVV1212:,VVzxyxVyV子空间的直和在两个子空间V1和V2的和空间V1+V2中,任一向量z可表示为x∈V1和y∈V2例1:在R3中,V1表示是由x1=(1,0,0)与x2=(1,1,1)所生成的子空间,而V2表示是由y1=(0,0,1)与y2=(3,1,2)所生成的子空间考察R3中的0向量,它即可以表示为0=0+0,也可以表示为0=(2x1+x2)+(y1-y2)一个向量的表示方法不唯一定义:如果V1+V2中的任一向量只能唯一地表示为子空间V1的一个向量和子空间V2的一个向量的和,则称V1+V2为V1与V2的直和或直接和,记为定理:和V1+V2为直和的充要条件为V1∩V2={0}推论:设V1,V2是线性空间V的子空间,令U=V1+V2,则U为V1和V2直和的充要条件为dimV1+dimV2=dim(U)21VV§1.2线性变换及其矩阵线性变换