第一章 线性空间和线性映射

矩阵理论陕西科技大学理学院蔺小林()()();()()(),xAtxBtutyCtxDtut其中()ut为l维输入变量，()xt维状态向量，为矩阵理论的简单应用一矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统状态空间的线性微分方程组为第一章线性空间和线性映射n分别为m维输出向量，矩阵为型矩阵且均为时间的函数。定义：如果上述方程中的矩阵都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为考虑一个线性定常系统xAxBuyCxDu()yt(),(),(),(),AtBtCtDt,,,nnnlnmmlt,,,,ABCDxAxBuyCxDu定义对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。定义对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入为零的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。()ut我们首先以单输入单输出系统为例。考虑下面的单输入单输出系统：TxAxbuycx其中和是维矢量，是矩阵，及是标量。定理1上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵unnAncby1(,,,)nQbAbAb是可逆（非奇异）矩阵。由于矩阵2123230300bAbAb是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。0101001,20003Ab例1设0000100,10101Ab由于矩阵2000100110bAbAb例2设是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是不可控的。定理2上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵1TTTnccAVcA是可逆（非奇异）矩阵。例311,1211TAc由于矩阵1233TTccA是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例4设0100300200010200A1000Tc由于矩阵231000010030020100TTTTccAcAcA是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是不可观测的。我们再以多输入多输出系统为例。考虑下面的多输入多输出系统：xAxBuyCx定理3多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵1(,,,)nQBABAB是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵1TnVCCACA是列满秩的。0111,1011AB由于矩阵11111111BAB是行满秩的，所以相应的系统是可控的。例5设二矩阵理论在生物数学中的应用在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属的植物花有8瓣；万寿菊的花有13瓣；紫菀属植物的花有21瓣；大多数雏菊的花有34，55，89瓣。另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为Fibonacci级数。它满足下述递推公式：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,以及初始条件：试求该数列的通项公式，并且求出极限21,0,1,2,3,kkkfffk010,1.ff1lim.kkkff解设1,0,1,2,kkkfUkf因为，所以21kkkfff2111110kkkkffff令1110A那么我们有10,kkkkUAUUAU于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出即可，我们利用的相似标准形来化简的计算。kAkAA的特征多项式为，它的两个特征根为：21IA1211(15),(15),22A111(15)211同理可得1((15))02IAX基础解系的一个向量为:221(15)211由此可以看出可以对角化。解齐次线性方程组A1((15))02IAX可以得到基础解系的一个向量为：令1211U那么11200UAU从而1212112120101011105kkkkAUU112121121115kkkk由递推公式以及初始条件可得110kkkfAf比较上式的第二个分量得12111515()()()2255kkkkkf这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容易计算出：11115lim0.6182kkkff0.618这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法经常称为黄金分割法。第一节线性空间的概念一线性空间的定义与例子定义设是一个非空的集合，是一个数域，在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,用来表示;另一种是数乘运算,用来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：VFV（1）加法交换律（2）加法结合律()()（3）零元素在中存在一个元素，使得对于任意的都有00VV（4）负元素对于中的任意元素都存在一个元素使得则称是的负元素.V01（5）数1()()klkl（6）（7）()klkl（8）()kkk称这样的集合为数域上的线性空间。VF例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。RRR例2复数域上的全体型矩阵构成的集合为上的线性空间。CmnCmnmmC例3实数域上全体次数小于或等于的多项式集合构成实数域上的线性空间.Rn[]nRxR例4全体正的实数在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：R:,,:,,kabababRkaaaRkR例5表示实数域上的全体无限序列组成的的集合。即RR123,[,,,]1,2,3,iaFRaaai在中定义加法与数乘：则为实数域上的一个线性空间。123123112233123123[,,,][,,,][,,,][,,,][,,,]aaabbbabababkaaakakakaRRR例6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有0,0,N,mnNmnaaRR例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛例8在中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列称为有界的，如果存在一个实数，使得21nnaRR123[,,,]aaaM,1,2,iaMiRR二线性空间的基本概念及其性质定义线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩.基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关部分无关；部分相关整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。例1实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例3实数域上的线性空间中，函数组也是线性无关的。RRR12,,,nxxxeee12,,,nRRR12,,,nxxx12,,,nRRR1,cos,cos2,,cosxxnx例4实数域上的线性空间空间中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。RRR21,cos,cos2xx221,sin,cos,sin,cos,,sin,cos,4.nnxxxxxxn线性空间的基底，维数与坐标变换定义设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得VFVn12,,,nV中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称为一个维线性空间，记为例1实数域上的线性空间中向量组与向量组12,,,n1122nnkkk12,,,n12(,,,)Tnkkk12,,,nVndim.VnR3R(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)V都是的基。是3维线性空间。例2实数域上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。例3实数域上的线性空间中的向量组10111111,,,0000101122R01101111,,,11110110R22R(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)3R3R22RR[]nRx与向量组都是的基底。的维数为注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4在4维线性空间中，向量组21,,,,nxxx21,2,(2),,(2)nxxx[]nRx[]nRx1.n22R01101111,,,11110110与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。解：设向量在第一组基下的坐标为10111111,,,000010111234AA1234(,,,)Txxxx于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110xxxx12347412,,,3333xxxx12341,1,1,4yyyy由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为12,,,n12,,,nVn11221212,,,,1,2,,iiininiinniaaaaaina1112121222121212,,,,,nnnnnnnnaaaaaaaaa将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称阶方阵n111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵是可逆的。1212,,,,,nnPP任取，设在两组基下的坐标分别为与，那么我们有：称上式为坐标变换公式。例1在4维线性空间中，向量组V12,,,Tnxxx12,,,Tnyyy1122nnxyxyPxy