7-高等数学实验-3

理工数学实验第5.3章一元函数积分法第3章一元函数积分法验证性实验实验一不定积分实验二定积分实验三定积分的应用第3章一元函数积分法—验证性实验实验一不定积分【实验目的】1.掌握求函数的原函数的方法2.熟悉基本积分公式和积分方法【实验要求】掌握Matlab中积分命令int第3章一元函数积分法—验证性实验【实验内容】求下列函数的一个原函数(1)(2)【实验过程】1.（1）symsx;f=1/x^4;int(f,x)运行结果：ans=-1/3/x^3即函数的一个原函数为.41xxxee14x1331x第3章一元函数积分法—验证性实验（2）symsx;f=exp(x)/(1+exp(x));int(f,x)运行结果：ans=log(1+exp(x))即函数的一个原函数为.xxee1)1(lnxe第3章一元函数积分法—验证性实验实验二定积分【实验目的】1.掌握求函数定积分的方法2.会求变上限函数的导数和带有变上限函数的极限【实验要求】熟悉Matlab中求定积分的命令第3章一元函数积分法—验证性实验【实验内容】1.求下列定积分（1）;【实验过程】1.（1）symsx;f=sqrt(1-x^2);int(f,x,0,1)运行结果：ans=1/4*pidxx1021第3章一元函数积分法—验证性实验2.求变上限函数的导数（1）;2.（1）symstx;y=sin(t)/t;diff(int(y,t,0,x),x)运行结果：ans=sin(x)/x即dtttdxdx0sindtttdxdx0sinxxsin第3章一元函数积分法—验证性实验3.求下列极限（1）;3.（1）symsxt;f=cos(t^2);int(f,t,sin(x),0);f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x)f2=f1/1limit(f2)运行结果：ans=-1dttxxx)cos(1lim0sin20第3章一元函数积分法—验证性实验实验三定积分的应用【实验目的】1.熟悉不定积分、定积分的求解过程2.会求变上限函数的导数3.掌握用定积分求平面图形面积、立体体积、曲线弧长以及立体侧面积等应用【实验要求】掌握Matlab中求定积分的命令第3章一元函数积分法—验证性实验1.求由抛物线与所围图形的面积A；【实验过程】1.第一步：画出积分区域的图形：y=linspace(-1,1,60);x1=5*y.^2;x2=1+y.^2;plot(x1,y,x2,y)运行结果：图3-1抛物线与所围图形25yx21yx25yx21yx第3章一元函数积分法—验证性实验第二步：先观察曲线，再计算面积symsyf=(1+y^2)-5*y^2;A=int(f,y,-0.5,0.5)运行结果：A=2/3即所求平面图形的面积为2/3。第3章一元函数积分法—验证性实验2.求与所围图形绕轴旋转所成的旋转体的体积；2.第一步：画出两曲线所围图形x=linspace(-0.5,1.5,60);y1=x.^2;y2=x.^3;plot(x,y1,x,y2)运行结果：图3-2函数与所围图形2xy3xy2xy3xy第3章一元函数积分法—验证性实验第二步：观察图形，求旋转体体积symsx;f=x^4-x^6;V=int(f,x,0,1)运行结果：V=2/35*pi即所求旋转体的体积为.352第3章一元函数积分法设计性实验实验一树的高度问题实验二还款问题实验三生日蛋糕问题第3章一元函数积分法—设计性实验实验一树的高度问题【实验目的】1.加深对积分概念的理解2.使用积分理论解决实际问题3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令第3章一元函数积分法—设计性实验【实验内容】有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值（如作为木柴），人们要求该树在5年内（t=6，在种植时已生长一年）至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。第3章一元函数积分法—设计性实验【实验方案】树的高度，由题意可得将t1代入，得得即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。,352.1)52.1()(34Cttdttth511.23C2215C,15223556)(3ttth)(66.815226*356*56)6(3mh,666.7166.8)1()6(hh第3章一元函数积分法—设计性实验【实验过程】symstf=int(1.2+5*t^(-4))f=6/5*t-5/3/t^3clearsymscc=solve('1.2-5/3+c-1','c')c=1.4666666666666666666666666666667第3章一元函数积分法—设计性实验实验二还款问题【实验目的】1.加深了解一元函数积分法2.定积分在经济数学中的实际应用3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程【实验要求】掌握定积分概念，Matlab软件求定积分第3章一元函数积分法—设计性实验【实验内容】现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？第3章一元函数积分法—设计性实验【实验方案】每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为，n年的贴现值为依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为A，因付款流总值为250万元，即有得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2447万元。0.04taen0.040taedtte06.0100.060250tAedt,4552.0*06.0)1(06.025010*06.0AeA第3章一元函数积分法—设计性实验【实验过程】clearsymstAa=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a=-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*Ab=solve('-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250','A')b=-15/(exp(-3/5)-1)第3章一元函数积分法—设计性实验实验三生日蛋糕问题【实验目的】1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应用问题3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令第3章一元函数积分法—设计性实验【实验内容】一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5，0h1(单位m)第3章一元函数积分法—设计性实验由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。【实验方案】首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，图3-4单层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为2WkrH第3章一元函数积分法—设计性实验如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：图3-5双层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为以此类推，如果蛋糕是n层的，图3-6多层蛋糕22SrHr22221212/2/2()/2WkrHkrHkrrH221211212/22/2()SrHrHrrrHr第3章一元函数积分法—设计性实验每层高为H/n，半径分别为r1，r2，……，rn，则蛋糕的质量和表面积为事实上，蛋糕边缘圆盘半径(0h1)那么当n→∞，H=1时→→此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积分。21niiHWkrn2112niiHSrrn()2(exp(2)exp(2))/5rrhhh21niiHWkrn120()krhdh2112niiHSrrn1202()(0)rhdhr第3章一元函数积分法—设计性实验【实验过程】symshr=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5;quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2',0,1)ans=5.4171r0=subs(r,h,0)r0=1.6000quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5)',0,1)+pi*r0^2ans=16.0512求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为W=5.4171(kg)，S=16.0512(m2)第3章一元函数积分法—设计性实验思考与提高1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25％，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？鱼塘的平面图如图：图3-7鱼塘平面示意图第3章一元函数积分法—设计性实验2.某旅游景点准备在两个山顶间设置一缆车索道，已知两山顶间相距200m。为施工方便，在两山顶中间依山势建有一个塔，塔顶与两山顶等高等距离。现在塔顶与山顶间悬挂索道，允许索道在中间下垂10m，且两部分下垂部分一致。请计算在这两个山顶间所用索道长度。3.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下数据：试求其线性拟合曲线，并估计在碳含量的这一改变过程中对电阻产生的总效应。碳含量x0.100.300.400.550.700.800.95电阻效应y1518192122.623.826