函数y=A sin(ωx+φ)的图象

1.5.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移y=f(x-h)y=f(x)-ky=f(x+h)y=f(x)+ky=f(x)沿x轴向右平移h个单位xx－h(h0)y=f(x)沿x轴向左平移h个单位xx＋h(h0)y=f(x)沿y轴向上平移k个单位yy+k(k0)y=f(x)沿y轴向下平移k个单位yy-k(k0)针对自变量针对因变量“五点法”作函数y=sinx简图的“五点”是指什么？)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(22311.yxO2....交流电的电流y与时间x变化的图象54321-1-2-3-4-5xyO0.010.020.030.04放大与正弦曲线相似下图1是某次实验测得的交流电y随时间x变化的图象，这就是我们要研究的正弦型y=Asin(ωx+φ)函数的图象.将测得的图象放大（图2）可以看出它和正弦曲线很相似，那么函数y＝Asin(x+φ)与函数y＝sinx有什么关系呢？在一个周期内的图象用五点法作出例)32sin(3.1xy解：，令32xX，则62Xx列表：Xxy022326123127650303056o-3x12-1-2y67121233)32sin(3xyxysin描点连线：2问题：函数y=3sin(2x+π/3)的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化得到呢？的图象产生影响的？如何对)sin(,,xAyA56o-3x12-1-2y67121233)32sin(3xyxysin2这就是本节课我们要研究和讨论的主要问题：的图象与作出函数)4sin()3sin(xyxy列表：223262335300001－13xxsin()3x762232345449400001－14xxsin()4x74(一)探索对y=sin(x+),x∈R的图象的影响.253234xy01194sin()3yxsin()4yxsinyx..........223262335300001－13xxsin()3x762232345449400001－14xxsin()4x74列表：()()yfxyfx化归思想：怎样由()0yfx将图象上的每一个点向左（）（或向右0||()yfx（））平移个单位即得到：函数y=sin(x+φ)，x∈R（其中φ≠0）的图像，可以看作把正弦函数y=sinx上所有的点向左（当φ0时）或向右（当φ0时）平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．归纳总结：例2．作函数及的简图．xsiny2xsiny21解：函数的周期，xsiny222T先作时的简图．，0x列表：223222234432xx2xsin200000342xx21xsin21000001－11－1函数的周期，先作时的简图．xsiny214212T40，x(二)探索对y=sin(x+),x∈R的图象的影响.0xy4222331-1...........利用这两个函数的周期性，把各函数一个周期的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图.xy2sinxy21sinxysin223222234432xx2xsin200000342xx21xsin21000001－11－1列表并描点作图：横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y=sinx21y=sinx纵坐标不变y=sinxy=sin2x横坐标缩短到原来的倍21xy4222331-1.0xy21sinxy2sinxysin归纳总结：函数（且）的图像,可以看做是把的图像上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，它是由的变化而引起的，与周期的关系为．xysin01xysin1101T2T()()(0)yfxyfx化归：怎样由1()()yfxyfx将图象上的每一个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，即得到：例1．画出函数及（）的简图．xsiny2xsiny21Rx解：函数及的周期均为，xsiny2xsiny212先作上的简图．20，列表并描点作图：21210100000000－1－222232xsinxsin2xsin210x(三)探索A对y=Asin(x+),x∈R的图象的影响.列表并描点作图：利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图.20，........xy022231-12-2xysin2xysin21xysin21210100000000－1－222232xsinxsin2xsin210x纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y=sinxy=2sinx横坐标不变y=sinxy=sinx12纵坐标缩短到原来的倍12xy022231-12-2xysin2xysin21xysin归纳总结：函数（且）的图像可以看做是把函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当）到原来的倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由的变化而引起的，叫做函数的振幅．xsinAy0A1Axsiny1A10AAAxsinAyA()()(0)yfxyAfxA化归：怎样由()()yfxAyAfx将图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即得到：56o-3x12-1-2y67121233)32sin(3xyxysin2问题：函数y=3sin(2x+π/3)的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化得到呢？1-１2-2oxy3-326536335y=sin(2x+)3y=3sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按Ay=sin(x+)3y=sinx61276732函数y=sinxy=sin(x+)的图象3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象3y=sin(2x+)的图象3（1）向左平移3纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍211-１2-2oxy3-32653635y=sin(2x+)3y=sinxy=sin2xy=3sin(2x+)3方法2：),,(顺序变换按A3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3Sin(2x+)的图象3y=Sin(2x+)的图象321（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变6（2）向左平移函数y=Sinxy=Sin2x的图象方法一3sin(2)3yx方法二sin(3yx）sin(23yx）sin[2()]6yxsin2yxsinyxsinyx向左平移个单位3向左平移个单位6纵坐标伸长3倍横坐标不变横坐标缩短到原来的倍12纵坐标不变横坐标缩短到原来的倍12函数的图像，可以看作用下面的方法得到：3sin23yx先平移变换，再周期变换,最后振幅变换：)sin(xy)sin(xy平移个单位横坐标变为原来的倍1xysin)sin(xAy纵坐标变为原来的A倍横坐标不变的图象的两种策略的图象变换到由)sin(sinxAyxy先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：xysinxysin横坐标变为原来的倍1平移个单位)(sinxy)sin(xAy纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变横坐标不变过程步骤y21O-1x232y21O-1x23221O-1x232（沿x轴平行移动）y=sin(x+)（沿x轴伸缩）y=sin(x+)yxOy=Asin(x+)xOy（沿y轴伸缩）步骤1y21O-1x232y21O-1x23221O-1x232y=sinx步骤2步骤3步骤4思考1：sin()3cos(2)53yxyx例：如何由变换得：我们已经解决了函数y=Asin(x+)（其中A＞0,0）的图象如何由y=sinx得到。我们解决了同名三角函数的变换不同名三角函数的变换又该怎么办？思考3：coscos()(0,0)yxyAxA满足前面的变换规律吗？满足思考2：sinsin()(0,0)yxyAxAsin()3sin()53yxyx例：如何由变换得：1.5.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)先平移变换，再周期变换,最后振幅变换：)sin(xy)sin(xy平移个单位横坐标变为原来的倍1xysin)sin(xAy纵坐标变为原来的A倍横坐标不变的图象的两种策略的图象变换到由)sin(sinxAyxy先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：xysinxysin横坐标变为原来的倍1平移个单位)(sinxy)sin(xAy纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变横坐标不变A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.的物理意义：其中，函数)0,0)(,0[)sin(AxxAy函数表示一个振动量时：T：.2T称为“周期”间，往复振动一次所需的时f：.2T1的次数，称为“频率”单位时间内往返振动f:x称为“相位”.:x=0时的相位，称为“初相”.例1.下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）从点O算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复运动？如从点A算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数解析式./cmyCA0.40.8DF1.2E/xsBO2解：（1）从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为：2cm；.周期为：频率为：0.8s；5.4（2）如果从点O算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从点A算起，到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动./cmyCA0.40.8DF1.2E/xsBO2例1.下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）从点O算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复运动？如从点A算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数解析式.解：（3）设这个简谐运动的函数解析式为：sin()[0,)yAxx，则2;A20.8T由得5;2由图象知初相0.故所求表达式为：52sin,2yx[0,).xsin()(00||)2()sin.yAxAyx已知函数，，在一个周期内的简图如图，求其相应的函数表达式，并说明它是经过怎样变化得到的121251211x解：2A由图知1152()1212T22，2sin(2)6yx故52sin(2)(0)12yx过，502sin(2)125sin()06即225436356.6例2.由y=sinx的图象得到y=2sin(2x-)的图象：6向右平移π/6个单位长度第1步:y=sinx的图象y=sin(x-)的图象6纵坐标不变各点的横坐标缩短到原来的1/2倍6第3步:y=sin(2x-)的图象y=2sin(2x-)的图象6各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变第2步:y=sin(x-)的图象y=sin(2x-)