同构及同态和环3

§6.5同构及同态6.5.1同态映射定义6.5.1设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射σ说是一个同态映射，如果σ（ab）=σ（a）σ（b）。定理6.5.1设G是一个群，σ是G到K中的一个同态映射，则G的映象G′=σ（G）是一个群，G的单位元1的映象σ（1）就是G′的单位元1′，而a的逆a-1的映象σ（a-1）就是a的映象σ（a）的逆σ（a）-1：σ（a-1）=σ（a）-1。证明：因为G非空,显然G′非空，要证G′做成群，首先要证G′中任意两个元素可以相乘，即设a′∈G′，b′∈G′，要证a′b′∈G′。事实上，a′=σ（a），b′=σ（b），按σ的同态性σ（ab）=σ（a）σ（b）=a′b′，故a′b′是G的元素ab的映象，因而a′b′∈G′。再证G′中有结合律成立：设a′,b′,c′∈G′，则a′（b′c′）=（a′b′）c′。事实上，a′=σ（a），b′=σ（b），c′=σ（c），又因为群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ（a（bc））=σ（（ab）c）。按σ的同态性，推出σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c)，σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)，即a′（b′c′）=（a′b′）c′。下面证G′有左壹而且就是σ（1），即对于任意的a′∈G′,有σ(1)a′=a′。事实上，a′=σ（a），按σ的同态性σ（1）a′=σ（1）σ（a）=σ（1a）=σ（a）=a′。再证G′中的任意元素a′有左逆而且就是σ（a-1）。事实上，a′=σ（a），由σ的同态性σ(a-1)a′=σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ（1）。因此，G′做成一个群，G′的壹1′=σ（1），G′中a′的逆是σ（a-1）。G和G′说是同态，记为G～G′。例6.5.1设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：xe，xG，其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对a，bG，有σ（a*b）=e=σ（a）+σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。例6.5.2设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）是所有非零复数在数的乘法下作成的群，令σ：nin，nZ，其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C*内的一个映射，且对m,nZ，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。即，σ是Z到C*的同态映射，Z～σ（Z）。σ（Z）={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。6.5.2同构映射定义6.5.2设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ（G）上的1-1映射,则称σ是同构映射。称G与σ（G）同构，记成GG′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。如果G只和G′同态，则由于G中两个或多个元素可能变成G′的一个元素，所以不能说是G和G′构造一样，但因为G中的乘法关系在G′中仍对应地成立，所以，可以说G′是G的一个缩影。例6.5.3设（R+，·）是一切正实数在数的乘法下作成的群,(R，+)是实数加法群。令σ：xlogx，xR+，则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+，σ（a·b）=log（a·b）=loga+logb=σ（a）+σ（b）。故σ是R+到R上的同构映射。Logx是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或若取σ（x）=log10x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。此例中（R+，·）（R，+），如果将R+换成R*，即换成非零实数集,那么（R*,·）与（R,+）能否同构呢？例6.5.4（R*，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有σ：10，-1a，a0。从而，σ（1）=σ（（-1）·（-1））=σ（-1）+σ（-1）=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a0矛盾。故原假设不对,（R*，·）与（R，+）不可能同构。例6.5.5无限循环群同构于整数加法群。证明：设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对aG，nZ，使得a=gn，则令f：an。不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。定义6.5.3设G是一个群，若σ是G到G上的同构映射，则称σ为自同构映射。自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例子。例6.5.6设（Z，+）是整数加法群，令σ：n-n，nZ，则σ是Z的一个自同构映射。例6.5.7设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射σ：aa-1，aG，是G的一个自同构映射。此例包含上例为特例。如果G包含元数大于2，那么该自同构映射不一定是恒等自同构映射。6.5.3同态核定义6.5.4设σ是G到G′上的一个同态映射，命N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，记为σ-1（1′），即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}我们把N叫做σ的核。这里σ-1（1′）只是一个记号，不代表逆映射。定理6.5.2设σ是G到Gˊ上的一个同态映射，于是，σ的核N是G的一个正规子群,对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G,σ(x)=aˊ}是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。证明：先证N是G的子群。1）证N非空。因为σ（1）=1ˊ，所以1∈N。2）若a∈N，b∈N，要证ab-1∈N。事实上，由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得σ（ab-1）=σ（a）σ（b-1）=σ（a）（σ（b））-1=1′（1′）-1=1′，故ab-1∈N。再证N是正规子群,即证对于任意的g∈G,gNg-1N。事实上，σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1)=σ(g){1′}σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1{1′}={1′}。故gNg-1N。最后证明：若a′∈G′而σ(a)=a′则σ-1（a′）是N在G中的一个陪集，即为Na。事实上，对任意的b∈G，b∈σ-1(a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只要σ(b)(a′)-1=1′,必要而且只要σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1′,必要而且只要ba-1∈N，必要而且只要b∈Na。以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其核N为一正规子群。反过来，我们要问：设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。引理1设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN，B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。定理6.5.3按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.命σ：a→aN，则σ是G到上的一个同态映射,其核为N.证明：由引理1，中乘法封闭，映射σ使σ(a)σ(b)=aNbN=abN=σ(ab)，故σ是G到上的一个同态映射，按定理6.5.1，是一个群,的壹显然就是N本身（作为中的一个元素）,所以σ的核应含G中在σ之下变成中壹N的那些元素:核σ={g∈G∣σ（g）=N∈}={g∈G∣gN=N}={g∈G∣g∈N}=N（作为G的一个子集，一个正规子群）。叫做G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。GGGGGGGGGG例6.5.8设G是整数加法群，N=5G={…,-10,-5,0,5,10,…},则N是G的正规子群.G中N的所有陪集为：,其中：={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N，={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N，={…,-6,-1,4,9,14,…}=4+N。用表示陪集间的加法，则=(1+N)(4+N)=（1+4）+N=N=。若令={}，则G～，在陪集加法下是一个群。4,3,2,1,0014140G4,3,2,1,0GG定理6.5.4设σ是G到G′上的一个同态映射,若σ的核为N，则G′。证明：首先，由定理6.5.2，我们知道G′的元素和G∕N的元素一一对应,设在这个一一对应之下,G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN和bN:a′aN，b′bN。于是a′=σ(a)，b′=σ(b)，而且a′b′=σ(ab),可见G′的元素a′b′所对应的G∕N的元素是abN=aNbN：a′b′aNbN。所以G′和G∕N同构。NG例6.5.9设G是整数加法群，σ：xx（mod5）,xG，则G′=σ（G）={0,1,2,3,4}是模5的加法群,σ是G到G′上的同态映射。σ的核为N=5G，G∕N=={}，则G′G∕N。G4,3,2,1,0定理6.5.3和定理6.5.4说明，G的任意缩影和G的一个商群同构，而且G的任一商群也就是一个缩影。因此,抽象地看来，商群就是缩影,缩影就是商群，说是商群，我们指的是以陪集为元素作成的群，说是缩影，我们可以设想把陪集aN中的所有元素加以“等置”而得一个元素a′，缩影就是这些元素a′作成的群。例如,Sn：n次对称群，C2={1，-1}，按照乘法，是二元循环群，规定映射sgn：sgn则由sgn=sgn.sgn,知sgn是同态映射，同态象C2，其核为n次交代群An，显然An是Sn的正规子群，Sn～Si/An是自然同态，同态象C2Sn/An，所以说Sn/An是二元循环群。下面看同态映射下子群的变化。设G是群，同态映射，G～G’，N是同态核。(1)H是G的子群，则H’=(H)是G’的子群。(2)设H’是G’的子群,则-1(H’)=H为G的子群.证明：H=-1(H’)显然非空。对任意a，bH，必有(a)，(b)H’，因H’是子群，所以(a)(b)-1=(ab-1)H’，所以ab-1H，故H是G的子群。(3)先给出G的子群H,作(H)=H’，然后看-1(H’),它是H吗?不一定，应是-1(H’)=HN。证明：因(HN)=(H)(N)=(H)，所以HN-1((H))。任取a-1((H))，必有(a)=h’(H)，因为(H)是H的象集，必有hH，使(h)=h’=(a),即(h-1a)=(h)-1(a)=1’，所以h-1aN，即ahN，有aHN，故-1((H))HN，所以原式成立。(4)若NH，则-1((H))=H。证：因N中有1，故H=H{1}HNHH=H所以，HN=H，由(3)，结论成立。(5)先给G’子群H’，-1(H’)=H再看H的象集(H)=(-1(H’))它是H’吗？是的。证：因-1(H’)表示H’在G中全体原象集，故在下再看象集必是H’。(6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子群。证：对任g’G’往证g’H’g’-1H’因为必有gG使(g)=g’而g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg-1)=(H)=H’所以，H’正规子群。(7)若H’是G’的正规子群，则H=-1(H’)是G的正规子群。证：对任gG要证gHg-1H因(gHg-1)=(g)(H)(g)-1=g’H’g-1=H’所以，gHg-1H=-1(H’)=H由(1)～(7)，可得如下定理：定理6.5.5G与N之间的子群和G′的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。G中子群与G′中子群的关系示意图1G当NHG’-1((H))=HNH’=(H)H1NH’1’G中子群与G′中子群的关系示意图2G若HNH’=(H)G’H1N1‘§6.6环6.6.1环的定义定义6.6.1设R是一个非空集合，其中有加法乘法两种运算，R叫做一个环，如果1）a+b=b+a，2）a+（b+c）=（a+b）+c，3）R中有一个元素0，适合a+0=a，4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0，5）a（bc